Smash Product jako pullback?

Question

Rozważając $\mathsf{Hom}$-functor

$$ \mathsf{Hom}_*: \mathsf{Set}_*^{\text{op}} \times \mathsf{Set}_* \to \mathsf{Set}_* $$

wydaje mi się dość jasne, że lewy łącznik jest produktem błyskawicznym

$$ (X,x_0) \wedge (Y,y_0) = (X\times Y) / [(X\times \{y_0\}) \cup (\{x_0\} \times Y)]. $$

Wydaje mi się to stosunkowo proste, ponieważ jeśli $F$ jest więc lewym sprzężeniem

$$ \mathsf{Set}_*\left [(X,x_0), \mathsf{Hom}_*\left ((Y,y_0), (Z,z_0)\right ) \right ] \;\; \cong \;\; \mathsf{Set}_*\left [F((X,x_0), (Y,y_0)), (Z, z_0) \right ] $$

co oznacza że $F((X,x_0), (Y,y_0))$ jest zbiorem spiczastym i dokładnie odpowiada odwzorowaniom, które są stałe na wszystkich parach postaci $(x,y_0)$ i $(x_0,y)$ dla wszystkich $x\in X, y\in Y$.

Teraz moje pytanie pochodzi z książki Riehl, w której twierdzi ona, że ​​to stwierdzenie można sformułować w sposób kategoryczny, tak że $\mathsf{Set}$ można zastąpić dowolną zamkniętą kategorią kartezjańską.

Czy ten przebojowy produkt można opisać jako pullback? Innymi słowy, czy mamy następujący diagram przemienny:

$$ \require{AMScd} \begin{CD} (X,x_0)\wedge (Y,y_0) @>>> X \\ @VVV @VVV \\ Y @>>> X\times Y \end{CD} $$

gdzie pierwsze dwie nogi to występ, a kolejne dwie nogi to wtrącenia formy $i_{y_0}:X\to X\times Y$ podane przez $i_{y_0}(x) = (x,y_0)$ i podobnie $i_{x_0}:Y\to X\times Y$ podane przez $i_{x_0}(y) = (x_0,y)$? Daj mi znać, czy moja logika wydaje się być słuszna, a jeśli nie, w jakim kierunku powinienem to obrać. Gdzie

Answer 1

W kategorii zbiorów ostrołukowych punkt $x_0\in X$ odpowiada morfizmowi $x_0 : * \to X$. Mając dwa spiczaste zestawy, możesz utworzyć wypychanie$$ \require{AMScd} \begin{CD} * @>>> X \\ @VVV@VVV \\ Y @>>> X \vee Y \end{CD} $$ gdzie określisz dwa punkty $x_0,y_0$ w jednym w rozłącznym związku $X\sqcup Y$.

Teraz obserwujcie to $X\vee Y$ jest (spiczastym) podzbiorem $X\times Y$: identyfikuje podzbiór $(\{x_0\}\times Y)\times (X\times\{y_0\})$ (po prostu dlatego, że dwa wyróżnione punkty stały się jednym punktem $(x_0,y_0)$ w $X\vee Y$).

A co by było, gdybyś wziął iloraz $X\times Y$ przez $X\vee Y$? To jest właśnie najlepszy produkt$X$ i $Y$. Ale jednocześnie jest to również wypychanie$$\require{AMScd} \begin{CD} X\vee Y @>>> X\times Y \\ @VVV@VVV \\ * @>>> X\land Y \end{CD} $$ Działa to dokładnie tak samo w każdej kategorii, która ma obiekt zerowy i wszystkie wypychania: na przykład w kategorii spiczastych przestrzeni topologicznych.

Ciekawostką jest to, że jeśli Twoja kategoria jest, powiedzmy, kategorią grup abelowych, „produktem rozbitym” jest obiekt zero, ponieważ $X\vee Y\cong X\times Y=X\oplus Y$.

Tak więc możesz myśleć o rozbitym produkcie jako o wskaźniku niepowodzenia produktów i koproduktów, które są izomorficzne: im większy iloraz $\frac{X\times Y}{X\vee Y}$, tym dalej kategoria otoczenia jest oddalona od produktów biologicznych .