Suma kombinatoryczna

Question

• Każdy pomysł na oszacowanie sumy $$ \sum_{j=m}^{k}\frac{\binom{m}{2m - j\,\,}}{\binom{k}{j}} \quad\mbox{with}\quad m \leq k < 2m - 1. $$
• Znalazłem sumę za $k=2m-1$. W rzeczywistości jest to potwierdzone$$ \sum_{j = m}^{2m - 1}\ \frac{\binom{m}{2m-j\,\,}} {\binom{2m - 1\,\,}{j}} = 2m\left(H_{2m} - H_{m}\right), $$ gdzie $H_{j}$ jest $j$-ty numer harmonicznej.

Answer 1

Tutaj maxima „s pakiet Zeilberger (rzuć okiem na Petkovsek, Wilf, Zeilberger "A = B" dla krwawych szczegółów) mówi Twój suma nie jest Gosper'a summable. Oznacza to, że nie ma dla niego prostej zamkniętej formy.

Answer 2

Przez krótki czas miałem nadzieję, że będę mógł wyrazić wynik w postaci funkcji hipergeometrycznych, ale nie udało mi się.

Jeśli pozwolimy $k=m+n$problem sprowadza się do $$S_n=\sum_{j=m}^{m+n} \frac{\Gamma (j+1)\,\,\Gamma (m+n+1-j)}{\Gamma (m+n+1)} \,\binom{m}{2 m-j} $$ który potrafi pisać $$S_n=\frac{\Gamma(m+1)}{n!\ \Gamma(m+n+1)} P_{n}(m)$$ gdzie $P_n$ jest wielomianem stopnia $2n$ (nie wydaje się to mieć znaczenia dla żadnego $n$).

Pierwsi są $$\left( \begin{array}{cc} n & P_n \\ 0 & 1 \\ 1 & m^2+m+1 \\ 2 & m^4+2 m^3+m^2+4 \\ 3 & m^6+3 m^5-2 m^4-9 m^3+13 m^2+18 m+36 \\ 4 & m^8+4 m^7-10 m^6-44 m^5+53 m^4+184 m^3+100 m^2+576 \end{array} \right)$$

Nie udało mi się znaleźć żadnego wzoru dla współczynników [poza tym, że stały składnik to $(n!)^2$ i że współczynnik $m^{2n}$ jest $1$ (!!)].

Jedyne, co zauważyłem, to to, że jeśli $n$ jest równa, termin jest $m$ systematycznie brakuje.

Nie sądzę, aby bez żadnego dowodu istniała forma zamknięta dla generała $n$.