Suma liczb trójkątnych

Question

Cóż, znane liczby trójkątne $$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, \cdots$$Szukam różnych metod, aby uzyskać sumę tych liczb. Wiem, że możemy to napisać jak poniżej$$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \displaystyle\sum\limits_{k=1}^i i\\= \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \frac{i(i+1)}{2}=\\ \frac 12 \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (i+i^2)=\\ \frac12 (\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})=\\ \frac{n(n+1)(n+2)}3$$ Wiem, że możemy to pokazać $\mathit{mathematical} \space \mathscr{Induction}$, Ale czy istnieje więcej metod pokazania tego faktu? Jako przykład dowód bez słowa lub czegoś innego. Z góry dziękuję za jakąkolwiek wskazówkę, rozwiązanie lub inne pomysły. Szukam również szczegółów dotyczących rozwiązania heurystycznego.

Answer 1

Korzystanie z tożsamości kija hokejowego :$$\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}=\sum_{k=1}^{n} {k +1 \choose 2}=\sum_{k=2}^{n+1} {k \choose 2}={n+2 \choose 3}$$

Answer 2

Istnieje kilka „Dowód bez słów” w tym w Nelsona Dowód bez słów . Jeden wygląda następująco:

Rozważ trójkąt

 1
 1 2
 1 2 3
 : ...
 1 2 3 ... n-1
 1 2 3 ... n-1 n

i jego obroty

 1                      n
 2 1                    n-1 n-1 
 3 2 1                  n-2 n-2 n-2 
 : ...                  : ...
 n-1 n-2 ... 2 1        2 2 2 2 ... 2 2
 n  n-1 n-2 ... 2 1     1 1 1 1 ... 1 1 1

Podsumowując każdy wpis w trzech trójkątach otrzymujemy:

n+2
n+2 n+2
n+2 n+2 n+2
: ...
n+2 n+2 n+2 ... n+2

W związku z tym $T_n (n+2) = 3\sum T_n$.

A zatem $\sum T_n = \dfrac {n(n+1)(n+2)}6$.