Transformacja obserwowalnych operatorów
W książce Ballentine na temat QM w rozdziale 3 stwierdza, że jeśli wektor stanu jest transformowany, istnieje odpowiednia transformacja operatorów skojarzonych z obserwablami. W matematyce, jeśli$$ |\mathbf{\psi'}\rangle = U|\mathbf{\psi}\rangle$$
i
$$ A |\mathbf{\psi} \rangle = a_n |\mathbf{\psi} \rangle $$
Następnie musi istnieć przekształcona obserwowalna z.
$$ A' | \mathbf{\psi'} \rangle = a_n |\mathbf{\psi'} \rangle $$
Co oznacza, że
$$ A' = UAU^{-1} $$
Jednak nie całkiem podążam za uzasadnieniem powyższego stwierdzenia, że wartości własne muszą być takie same. Mylą mnie aktywne i pasywne spojrzenie na przemiany i sposób, w jaki jest on tutaj stosowany. Ballentine mówi, że używa aktywnego punktu widzenia. Więc wektor stanu,$|\mathbf{\psi} \rangle$, zostaje przeniesiony do nowej lokalizacji w tym samym układzie współrzędnych.
Dlaczego również przekształcamy obserwable w taki sposób, aby prawdziwe było następujące stwierdzenie? $$ A' | \mathbf{\psi'} \rangle = a_n |\mathbf{\psi'} \rangle $$
Edytować
Na podstawie poniższych komentarzy, moje dokładne pytania są niejasne. Rozumiem, że jeśli się zmienisz$A$ Jak na przykład
$$ A' = UAU^{-1} $$
Że dostaniesz
$$ A' | \mathbf{\psi'} \rangle = a_n |\mathbf{\psi'} \rangle $$
Moje pytanie brzmi: dlaczego nie używamy tego samego operatora A na przekształconym wektorze stanu, $|\psi \rangle$?
Odpowiedzi
Pozwól, że najpierw pokażę ci, co się tutaj naprawdę dzieje, twój problem automatycznie się zwiąże. Porozmawiam w kategoriach transformacji 2D, aby było to łatwe do wizualizacji.
$$|\psi'\rangle=U|\psi\rangle$$
Poniższe stwierdzenie mówi, że kiedy zastosujesz transformację na jakimś wektorze, otrzymasz nowy wektor (dla widoku wizualnego ). Następny jest$$A|\psi\rangle=a_n|\psi\rangle$$ Sugeruje to, że wektor $|\psi\rangle$ jest wektorem własnym $A$ to znaczy, że po transformacji jest to po prostu skalowane przez czynnik.
Teraz pytanie, które chcemy zadać, brzmi: Jeśli zastosuję transformację $U$ na całej przestrzeni, aby każdy wektor został przekształcony i tak jest $|\psi\rangle$ który jest wektorem własnym $A$, Co będzie nową transformacją $A'$ dla którego $|\psi\rangle$ będzie wektorem własnym?
Moje pytanie brzmi: dlaczego nie używamy tego samego operatora A na przekształconym wektorze stanu, $|ψ⟩$?
Powód jest prosty, ponieważ został przekształcony $|\psi\rangle$ nie jest już wektorem własnym dla $A$. Ale chcę nadać trochę więcej sensu ... więc dogaduj się ze mną.
Wróćmy do naszego zainteresowania. Teraz dla uproszczenia możemy pomyśleć$U$jako rotacja. Chodzi o to, że po przekształceniu (rotacji) każdy wektor, który jest w kierunku$|\psi\rangle$powinien leżeć na tej samej linii po przekształceniu. Na przykład po obrocie o 90 stopni$\hat{i}$ i $2\hat{i}$ pozostaną równoległe.
Podejrzewamy więc, że każdy wektor własny $A$powinien znajdować się na tej samej linii po transformacji. Teraz, aby znaleźć taką macierz: najpierw odwracamy efekt rotacji za pomocą macierzy odwrotnej. Abyśmy wrócili do naszego pierwotnego stanu tzw$U^{-1}U|\psi\rangle$. Następnym krokiem jest wykorzystanie faktu, że znamy transformację, dla której jest to wektor własny i tak dalej$AU^{-1}U|\psi\rangle$. Teraz ponownie zastosujemy naszą transformację, aby odwrócić efekt$UAU^{-1}U|\psi\rangle$.
W Active Picture nie mówiło to nic poza tym, że po przekształceniu wektor własny leży na tej samej linii.
Ale dzieje się coś bardzo fajnego Obraz pasywny. To ty musisz znaleźć Jak krótka uwaga:
$$U^{-1}A'U$$
Sugeruje to brak matematycznej empatii. To jest zmiana perspektywy. Macierz$U$to zmiana jest perspektywą. Jeśli nie dostałeś, tutaj .
Myślę, że teraz rozumiem. Powiem, że myślę, że opis książki jest zagmatwany.
Zasadniczo Ballentine mówi, że prawa fizyki są niezmienne w transformacjach Galileusza.
Innymi słowy, jeśli mamy jakiś wektor stanu, $|\psi\rangle$i dokonujemy transformacji czasoprzestrzeni do innego układu odniesienia, wtedy prawa fizyki powinny być takie same.
Na przykład, jeśli wykonujemy tłumaczenie,
$$|\psi'\rangle = e^{-i\mathbf{a}\cdot \mathbf{P}/\hbar}|\psi\rangle $$
Następnie dla każdego Observable powinien istnieć sposób, aby je również przetłumaczyć, tak aby jeśli obserwator był również przetłumaczony, obserwował te same rzeczy, co w systemie nieprzetłumaczonym. Jeśli spojrzysz na wektor własny obserwowalnego, oznacza to, że dla
$$ A|\phi_n\rangle = a_n |\phi_n\rangle$$ $$ A'|\phi'_n\rangle = a_n |\phi'_n\rangle$$
Innymi słowy, istnieje A 'takie, że dla tego przetłumaczonego systemu obserwuje się to samo, co nieprzetłumaczony system, z
$$ A' = U A U^{-1} $$
W przypadku pozycji kończy się to, $$Q' = Q-\mathbf{a}\cdot I$$
Innymi słowy, przetłumaczony obserwator zakończy odejmowanie $\mathbf{a}$ z pozycji, które rejestrują.
Prezentacja tego wszystkiego wydaje mi się nieco zagmatwana. Naprawdę mamy dwóch obserwatorów w dwóch różnych układach współrzędnych. Zasadniczo znajdujemy operatora$A'$ takie, że dla przetłumaczonego wektora stanu, $\psi'\rangle = U \psi\rangle$, w naszym układzie współrzędnych, który mówi nam, jak wyglądałyby obserwable dla obserwatora w przetłumaczonym układzie współrzędnych.