Twierdzenie bipolarne

Question

Podczas przechodzenia przez dowód lematu utknąłem z następującym problemem:$1.9$(i) z książki „Lectures on von Neumann Algebras” autorstwa Strătilă i Zsidó.

Pozwolić$\mathscr{B}$być przestrzenią Banacha i$\mathscr{B}^*$być podwójnym z$\mathscr{B}$. Pozwolić$\mathscr{B}_*\subseteq \mathscr{B}^*$być podprzestrzenią wektorową zamkniętą w normie taką, że$\mathscr{B}=(\mathscr{B}_*)^*$(tj. izometrycznie izomorficzny) poprzez kanoniczną formę dwuliniową on$\mathscr{B}\times \mathscr{B}_*$. Weź pod uwagę$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-topologia włączona$\mathscr{B}$który jest zdefiniowany przez rodzinę pół-norm$\{p_{\varphi}:\varphi\in \mathscr{B}_*\}$, gdzie$p_{\varphi}(x):=|\varphi (x)|$dla$x\in \mathscr{B}$. Pozwolić$\mathscr{M}\subseteq \mathscr{B}$być$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-zamknięta podprzestrzeń wektorowa.

Problem: Jeśli$\mathscr{M}^{\circ}:=\{\varphi \in \mathscr{B}_*;\varphi |_{\mathscr{M}}=0\}$, to udowodnij, że$\mathscr{M}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}$.

Autorzy dzwonią$\mathscr{M}^{\circ}$biegun$\mathscr{M}$a następnie mówi, że wniosek wynika z twierdzenia dwubiegunowego. Ale nie znalazłem żadnego odniesienia do tego „twierdzenia dwubiegunowego”. Czy ktoś mógłby mi pomóc z odpowiednim odniesieniem do tego „twierdzenia dwubiegunowego” wraz z rozwiązaniem. Z góry dziękuję.

Answer 1

Pozwolić$$ \mathscr{M}^{oo}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}. $$Mamy$\mathscr M\subset \mathscr M^{oo}$z definicji$\mathscr M^o$. Załóżmy, że istnieje$z\in \mathscr M^{oo}\setminus \mathscr M$. Tak jak$\mathscr M$jest wypukły i$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-zamknięty, przez Hahna-Banacha istnieje$\varphi$, liniowy i$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-ciągły, z$\varphi(z)=1$oraz$\varphi|_{\mathscr M}=0$. ten$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-funkcje ciągłe na dualu lokalnie zwartej przestrzeni są dokładnie tymi z preduału (patrz na przykład Twierdzenie V.1.3 w Kursie analizy funkcjonalnej Conwaya ); więc$\varphi\in\mathscr B_*$. Następnie$\varphi\in\mathscr M^o$; Jak$z\in\mathscr M^{oo}$, byśmy mieli$\varphi(z)=0$, sprzeczność. Więc$\mathscr M^{oo}=\mathscr M$.