Weil Restriction and Distinguished Opens

Question

Mam parę powiązanych pytań dotyczących ograniczenia Weil. Pozwolić$E/F$ być rozszerzeniem pola i niech $A$ fasola $E-$algebra. Załóżmy, że istnieją wszystkie istotne ograniczenia skalarów. Mamy mapę norm$n: A \rightarrow RA$. Chcę to pokazać$f \in A$ mamy $R(A_f) \simeq (RA)_{n(f)}$ (to jest problem 11.4.7 (6) w liniowych grupach algebraicznych Springera).

Używając funkcji functoriality, biorąc pod uwagę mapę $A \rightarrow A_f$, mamy mapę indukowaną $RA \rightarrow R(A_f)$ i od tego czasu $n(f) \in RA$ jest odwzorowany na coś odwracalnego w $R(A_f)$, według właściwości uniwersalnych, morfizm $RA \rightarrow R(A_f)$ czynniki poprzez $(RA)_{n(f)} \rightarrow R(A_f)$. Jednak nie jestem pewien, jak postępować tutaj.

Bardziej ujednoliconą perspektywę dają tutaj prawdopodobnie funktory punktów i myślenie względne. Więc tutaj, pracuję nad schematem podstawowym$S' \rightarrow S$, na $S$-schemat $Y$ i $S'$-schemat $X$ mamy

$Hom_{S'}(Y \times_S S', X)=Hom_S(Y, \Pi_{S'/S}X).$

Ponadto w tym ustawieniu wiemy, że przyjmowanie ograniczeń skalarów dojeżdża wraz ze zmianą bazy. Więc moje pytanie brzmi; jakie jest schematyczne sformułowanie powyższego pytania? Pozwolić$X=Spec(A)$ fasola $S'$schemat. Wtedy mam wrażenie, że bazowy diagram zmiany lokalizacji byłby$Spec(A_f) \times_{S'} Spec(A)$.

Następnie mamy łatwy argument

$\Pi_{S'/S}(Spec(A_f) \times_{S'} Spec(A)) \simeq \Pi(Spec(A_f)) \times_{\Pi(S')} \Pi(Spec(A))$.

Chociaż wydaje się to bliskie, nie mogę się do końca dowiedzieć, czy jest to poprawny odpowiednik powyższego stwierdzenia. Co więcej, wydaje mi się, że w ogóle nie wprowadzam mapy norm ani nie używam żadnych uniwersalnych właściwości dotyczących lokalizacji, więc nie jestem pewien siebie.

Daj mi znać, jeśli masz jakieś uwagi lub jeśli mam coś wyjaśnić.

Answer 1

$\newcommand{\Res}{\mathsf{Res}}$ $\newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}}$$\ newcommand {\ Hom} {\ mathrm {Hom}} $

Chciałbym opowiedzieć o sposobie myślenia o tym, który moim zdaniem jest pouczający. Mam nadzieję, że czujesz podobnie, chociaż najprawdopodobniej jest to poza zakresem tego, o czym w rzeczywistości rozmawia Springer.

---

Dla uproszczenia załóżmy, że $ E / F $ to Galois i oznaczę przez $ \ Gamma $ grupę $ \ mathrm {Gal} (E / F) $ i oznaczmy element ogólny $ \ Gamma $ przez $ \ sigma $ lub $ \ tau $ .

Zacznijmy od zdefiniowania dla wszystkich $ \ sigma $ w $ \ gamma $ $ E $ -algebra

$$ A ^ \ sigma: = A \ otimes_ {E, \ sigma} E $$

gdzie ta notacja oznacza, że ​​bierzemy iloczyn tensorowy $ E $ -algebr, gdzie $ E \ do A $ to mapa struktury, a $ E \ do E $ to mapa dana przez $ \ sigma $ . Uważamy to za $ E $ -algebrę, definiując $ e (a \ otimes b): = a \ otimes (eb) $ .

Zauważmy, że mamy mapę $ F $ -algebr

$$ \ sigma: A \ to A ^ \ sigma: a \ mapsto a \ otimes 1 $$

Należy jednak pamiętać, że ta mapa nie jest liniowa $ E $ . W rzeczywistości,

$$ \ sigma (ea) = (ea) \ otimes 1 = a \ otimes \ sigma (e) = \ sigma (e) (a \ otimes 1) $$

więc $ \ sigma: A \ do A ^ \ sigma $ to $ \ sigma $ -liniowe.

Teraz rozważyć $ E $ -algebra

$$ A ^ {\ otimes \ Gamma}: = \ bigotimes _ {\ sigma \ in \ Gamma_F} A ^ \ sigma $$

gdzie iloczyn tensorowy po prawej stronie jest iloczynem tensorowym algebr $ E $ . Będziemy oznaczać ogólny prosty tensor w $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ przez $ \ Displaystyle \ bigotimes a_ \ sigma $ (czyli $ \ sigma ^ \ text {th} $ -coordinate w prostym tensorze to $ a_ \ sigma $ ). Zauważ, że $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ przenosi naturalne działanie $ \ Gamma $ poprzez permutację współrzędnych lub, bardziej dokładnie,

$$ \ tau \ left (\ bigotimes a_ \ sigma \ right) = \ bigotimes b_ \ sigma, \ qquad b _ {\ tau \ sigma} = a_ \ sigma $$

Zauważ, że działanie $ \ Gamma $ nie jest liniowe $ E $ , ale $ F $ -liniowe.

Rozważmy teraz $ F $ -algebra $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} $ - punkty ustalone $ \ Gamma $ na $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ . Mamy oczywiste włączenie algebr $ F $

$$ \ iota: (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ hookrightarrow A ^ {\ otimes \ Gamma} $$

Mniej oczywisty jest fakt, że indukowana mapa algebr $ E $

$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ otimes_F E \ to A ^ {\ otimes \ Gamma}: x \ otimes e \ mapsto ex $$

jest izomorfizmem algebr $ E $ . W rzeczywistości jest to izomorfizm $ E $ -algebr z działaniem $ \ Gamma $, gdzie $ \ Gamma $ działa na źródło, działając na $ E $ !

Dlaczego $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ lub $ (A ^ {\ otimes {\ Gamma}}) ^ {\ Gamma} $ -ważne? Cóż, zauważ, że dla każdej $ F $ -algebry $ R $ oczywista mapa

$$ \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ to \ Hom_E \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} $$

jest bijection, w którym działa akcja $ \ Gamma $

$$ \ Hom_E \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ right) $$

przyjmuje homomorfizm $ \ alpha $ do $ \ sigma \ circ \ alpha \ circ \ sigma ^ {- 1} $, gdzie $ \ sigma ^ {- 1} $ działa na $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E $ działając na $ E $, a akcja $ \ sigma $ jest na $ R \ otimes_F E $ działając również przez $ E $ .

Ale już zauważyliśmy, że mamy izomorfizm

$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ otimes_F E \ to A ^ {\ otimes \ Gamma}: x \ otimes e \ mapsto ex $$

z $ E $ -algebr z $ \ Gamma $ -action. Tak więc to widzimy

$$ \ Hom_E \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} = \ Hom_E \ left (A ^ {\ otimes \ Gamma} , R \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} $$

ale co to jest $ \ Gamma $ -equivariant map of $ E $ -algebras $ A ^ {\ otimes \ Gamma} \ to R \ otimes_F E $ ? Cóż, z definicji iloczynu tensorowego powyżej $ E $ , jest to zbiór map algebr $ E $

$$ f_ \ sigma: A ^ \ sigma \ to R \ otimes_F E $$

gdzie skracamy $ f _ {\ mathrm {id}} $ do $ f $ tak, że dla dowolnej kolekcji $ a_ \ sigma \ in A ^ \ sigma $ masz

$$ f_ \ sigma (a_ \ sigma) = \ sigma (f (a)) $$

Innymi słowy, widzisz, że takie dane są całkowicie zdeterminowane przez $ f $ .

Innymi słowy, podsumowując wszystko, mamy do czynienia z naturalną serią uprzedzeń

$$\begin{align}\Hom_F\left((A^{\otimes\Gamma})^\Gamma,R\right) &= \Hom_E\left((A^{\otimes\Gamma})^\Gamma\otimes_F E,R\otimes_F E\right)^\Gamma\\ &= \Hom_E(A^{\otimes\Gamma},R\otimes_F E)^\Gamma\\ &= \Hom_E(A,R\otimes_F E)\end{align}$$

lub innymi słowy, pokazaliśmy to

$$ \ Res_ {E / F} \ Spec (A) = \ Spec \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ right) $$

Bardziej wyraźnie mamy do czynienia z uprzedzeniem

$$ J: \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ xrightarrow {\ approx} \ Hom_E (A, R \ otimes_F E) $$

podane przez wzięcie $ f $ do $ (f \ otimes 1) \ mid_A $ .

---

A co to ma wspólnego z mapą norm? Zauważ, że mamy mapę multiplikatywną

$$ N: A \ to A ^ {\ otimes \ Gamma}: a \ mapsto \ bigotimes \ sigma (a) $$

którą nazywamy mapą norm . Zauważ, że ta mapa nie jest addytywna, ale ma obraz w $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $ .

Zatem jeśli $ a \ in A $ to $ N (a) \ in (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $ . Biorąc pod uwagę powyższą dyskusję, teraz łatwo to zweryfikować

$$ \ Res_ {E / F} (D (a)) = D (N (a)) $$

Rzeczywiście, czym jest mapa schematów $ F $

$$ \ Spec (R) \ do D (N (a)) $$

ale mapa $ F $ -algebr

$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ to R $$

takie, że $ N (a) $ odwzorowuje jednostkę. Co to jest mapa schematów $ E $

$$ \ Spec (R \ otimes_F E) \ do \ Spec (A) $$

ale mapa $ E $ -algebr

$$ A \ do R \ otimes_F E $$

Zauważ więc, że pod naszym powyższym bijekcją

$$ \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ xrightarrow {\ approx} \ Hom_E (A, R \ otimes_F E) $$

widać to

$$ f (N (a)) = J (f) (a) $$

a więc $ f (N (a)) $ jest jednostką, gdy $ J (f) (a) $ jest. Właśnie tego chcemy.

---

Pozwólcie, że powiem ostatnie słowo na temat relacji między mapą norm

$$ N: A \ to (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $$

i bardziej znane wersje mapy norm. Mianowicie przypuśćmy, że istnieje taka $ F $ -algebra $ B $ taka, że $ A = B \ otimes_F E $ . Następnie zauważamy, że mamy izomorfizm $ E $ -algebr

$$ A ^ \ sigma = B \ otimes_F E \ otimes_ {E, \ sigma} E \ to A = B \ otimes_F E: (b \ otimes e_1) \ otimes e_2 \ mapsto b \ sigma (e_1) e_2 $$

Dzięki temu można wykazać, że istnieje izomorfizm algebr $ E $

$$ A ^ {\ otimes \ Gamma} \ cong B \ otimes_E E ^ {\ otimes \ Gamma} \ cong A \ otimes_E (E ^ {| \ Gamma |}) \ cong B ^ {| \ Gamma |} $$

Co więcej, nietrudno wtedy sprawdzić, czy mapa naturalna

$$ B \ to (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $$

jest izomorfizmem. Zatem widzimy, że mapa norm jest mapą

$$ N: B \ otimes_F E = A \ to (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma = B $$

Teraz niech $ x \ in B \ otimes_F E $ działa po lewej stronie $ B \ otimes_F E $ przez mnożenie z lewej strony, co oznacza $ \ ell_x $ . Ponieważ $ B \ otimes_F E $ jest wolnym $ B $ -modułem o skończonej randze, można rozważyć $ \ det (\ ell_x) \ w B $ . Następnie mamy, pod powyższymi identyfikatorami, że $ N (x) = \ det (\ ell_x) $ .