Własność centrów trójkątów

Question

$M$ jest przecięciem 3 cevianów w trójkącie $ABC$.

$$AB_1 = x,\quad CA_1 = y,\quad BC_1= z.$$

Można łatwo udowodnić, że zarówno dla punktów Nagela, jak i Gergonne'a, prawdziwe jest równanie:$$S = xyz / r,$$ gdzie $S$ jest obszarem trójkąta $ABC$ i $r$ jest promieniem wpisanego okręgu.

Zastanawiam się, jakie inne centra trójkątów mogą mieć tę samą właściwość i jakie jest dla nich miejsce geometryczne?

Należy również pamiętać, że w przypadku, w którym pkt $M$ jest centroidą wzór wygląda następująco: $S = 2xyz/R$, gdzie $R$jest promieniem okręgu opisanego. Podstawienie$x = b/2$, $y = a/2$, $z = c/2$ przywraca to do klasyki $S = abc/4R$. Być może mogą istnieć jakieś inne centra trójkątów, więc to równanie$S = 2xyz/R$odnosi się to również do nich. Zastanawiam się, w jakim konkretnym stosunku te hipotetyczne punkty mogą być do środka ciężkości$ABC$?

Answer 1

To tylko kod do powyższych komentarzy, ale zbyt długi na komentarz. Gdyby$M$ ma współrzędne barycentryczne $(\lambda,\mu,\nu)$ (niekoniecznie pozytywne i znormalizowane $\lambda+\mu+\nu=1$), to oba warunki sprowadzają się do równania sześciennego postaci $$ \frac{\lambda\mu\nu}{(\mu+\nu)(\nu+\lambda)(\lambda+\mu)} $$ jest stałą zależną od (kształtu) trójkąta i można ją łatwo obliczyć jawnie.

W celu sprawdzenia, czy dane centrum (z funkcją centrum $f$ z Encyklopedii centrów trójkątów, znormalizowany, aby był jednorodny z $f(a,b,c)+f(b,a,c)+f(c,a,b)=1$), powinno być łatwo napisać mały program, powiedzmy w Mathematica, aby to sprawdzić na miejscu.

Answer 2

GeoGebra znalazła X (7) X (8) X (506) X (507) i trochę więcej, jeśli pozwolisz odległym przecięciom cevian.

PS: znaleziono błąd w GeoGebra.
Mam nadzieję, że wkrótce zostanie to naprawione. [Edycja: teraz naprawione]