Zbiory delta G i gęstość

Question

Pozwolić $(X,d)$być przestrzenią metryczną i jest kompletna. Tak jak$G_\delta$zbiory to policzalne przecięcie zbiorów otwartych. Więc jeśli$G_\delta$ jest gęstym osadzeniem $X$ to oznacza, że ​​zbiory otwarte, których przecięcie było $G_\delta$ jest również gęsty.

Answer 1

Jak niektórzy użytkownicy i ja wskazaliśmy w komentarzach, każdy zestaw zawierający gęsty zestaw musi być gęsty. Zobaczmy, dlaczego:

Wyobrażać sobie $D$ jest gęsty i $D\subseteq A$. Weź dowolny otwarty zestaw$U$. Od$D$ jest gęsty, $D\cap U\neq\emptyset$, więc jest trochę $x\in D\cap U$. Następnie$x\in D$ i $x\in U$. Od$D\subseteq A$, $x\in A$ też tak $x\in A\cap U$. Wszystko to po prostu mówi, że dane$D\subseteq A$ mamy $\emptyset\neq D\cap U\subseteq A\cap U$. Od$U$ był niespecyficznym zestawem otwartym, działa to dla każdego zestawu otwartego, więc podsumowujemy $A$ jest też gęsty.

Jeśli chodzi o twoje pytanie, jak powiedziałem, jeśli gęsty zestaw $D$ jest $G_\delta$, to jest policzalne przecięcie zbiorów otwartych: $D=\bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n$. Od$D=\bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n\subseteq U_n$ dla każdego $n$, mamy to każdy $U_n$ jest gęsty.