Znajdź długość $DE$
Pozwolić $ABC$ być trójkątem z $AB<AC$. Pozwolić$D$ być z boku $AC$ takie że $AD=AB$. Pozwolić$I$ być środkiem trójkąta $ABC$ i $E$ być przecięciem prostopadłych dwusiecznych $ID$ i $BC$. Następnie znajdź$DE$ pod względem $AB$, $AC$ i $BC$.
W pierwotnym pytaniu podano pewne długości ($AB=5$, $AC=8$ i $BC=7$). Więc to znacznie ułatwiło mi obliczenia. Nie mogłem uzyskać żadnego eleganckiego rozwiązania, więc musiałem użyć geometrii współrzędnych, aby uzyskać rozwiązanie metodą brutalnej siły. Ciekawą rzeczą, którą zauważyłem, było to$AI$, prostopadła dwusieczna $BC$ i prostopadła dwusieczna $ID$ spotkali się na okręgu opisanym w $\triangle ABC$. wiem czemu$AI$ i prostopadła dwusieczna $BC$ spotykają się na okręgu opisanym, ale nie wiem, dlaczego jest to dwusieczna prostopadła $ID$spotkałby się tam również. Czy ktoś mógłby przedstawić dowód?
Wracając do głównego pytania. ustawiłem$B=(0,0)$ i $C=(7,0)$ i bez większych trudności znalazłem współrzędne $A=\left(\frac{5}{7}, \frac{20 \sqrt{3} }{7} \right)$ i $I=(2, \sqrt{3})$ i $D=\left( \frac{65}{14} ,\frac{15\sqrt{3}}{14}\right)$. Równanie prostopadłej dwusiecznej$BC$ jest $x=3.5$ i równanie prostopadłej dwusiecznej $ID$ jest $y-\frac{29\sqrt{3}}{28}=\frac{-37}{\sqrt{3}} \left(x-\frac{93}{28}\right)$. Chodzi o ich przecięcie$E= \left(\frac{7}{2}, \frac{-7\sqrt{3}}{6}\right)$. A stąd długość$DE$ jest $\frac{7\sqrt{3}}{3}$.
Jak już widać ta metoda jest niezwykle uciążliwa i podatna na błędy (nawet nie wiem, czy moja odpowiedź jest prawidłowa). Naprawdę spodobałoby mi się geometryczne rozwiązanie tego pytania. Znam tylko elementarną geometrię i trygonometrię, więc proszę o rozwiązanie na ich podstawie. (Proszę również wyjaśnić, dlaczego będą współliniowe). Każde rozwiązanie zostanie docenione. Zachęcamy do korzystania z podanych długości, aby ułatwić obliczenia i pisanie.
Schemat w celach informacyjnych:
Odpowiedzi
Oznaczę kąty trójkąta przez $A,B,C$ i boki trójkąta przeciwne do tych kątów odpowiednio jako $a,b,c$.
Fakt 1: Od$\triangle ABD$ jest równoramienny z dwusieczną kąta $AI$, $AI$ jest prostopadłą dwusieczną $BD$.
Fakt 2: $$\begin{aligned}\angle BIC&=180^\circ-\angle IBC-\angle ICB=180^\circ-\dfrac{B}2-\dfrac{C}2\\&=180^\circ-\left(\dfrac{B+C}2\right)=180^\circ-\left(\dfrac{180^\circ-A}2\right)=90^\circ+\dfrac{A}2 \end{aligned}$$
Fakt 3: Korzystanie z tego$\triangle ABD$ jest równoramienny, mamy $\angle ABD=\angle ADB= \dfrac{180^\circ-A}2$ $$\begin{aligned} \angle BDC= A+\angle ABD=A+\left(\dfrac{180^\circ-A}2\right)=90^\circ+\dfrac{A}2\end{aligned}$$
Z faktów 2 , 3 wynika, że$\angle BIC=\angle BDC$, więc jeśli narysujemy okręg opisany $\triangle BDC$, to te dwa równe kąty są kątami w tym samym segmencie tego koła , więc to$B,I,D,C$są koncykliczne. To daje do zrozumienia ze$\underline{\text{$\ triangle BID$ and $\ triangle BDC$ have the same circumcircle}}$.
W konsekwencji oznaczanie $\texttt{PB,CC}$ jako odpowiednio prostopadła dwusieczna i opisana, wynika z tego $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)= \texttt{CC} \text{ of } \triangle BIC \ (\text{by definition of }\texttt{CC})\\ (\texttt{PB} \text{ of } BD) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)= \texttt{CC} \text{ of } \triangle BDC \ (\text{by definition of }\texttt{CC}) $$ ale podkreślony fakt sugeruje $$\texttt{CC} \text{ of } \triangle BDC=\texttt{CC} \text{ of } \triangle BIC$$ po to aby $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=(\texttt{PB} \text{ of } BD) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)$$i faktem 1 $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=AI \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=E$$ gdzie druga równość jest czymś, o czym wspomniałeś, już wiesz.
A zatem $E$ jest środkiem circumcircle z $\triangle BIC,\triangle BDC$ z $EC,EI,ED$ jako promień $R_1$koła. Możesz znaleźć$|DE|=R_1$ używając reguły sinus $\triangle BDC$ tak jak
$$\begin{aligned} DE=IE=R_1=\dfrac{BC}{2\sin(\angle BDC)}&=\dfrac{BC}{2\sin\left(90^\circ+\dfrac{A}2\right)}\\&=\dfrac{a}{2\cos\left(\dfrac{A}2\right)}\end{aligned}$$ a następnie użyj $\cos(A/2)=\sqrt{\dfrac{1+\cos^2A}2}$ z $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ z reguły cosinusa.
Widzimy to $ID=IB$. Mamy również:
$\angle BEA=\angle ACB$
$\angle BAE=\angle EAC$
Co skutkuje w:
$\triangle ABE=\triangle AEC $
W związku z tym:
$BE=DE$
Teraz podłącz C do I. CI jest dwusieczną kąta ACB. Oznacz przecięcie prostopadłości z E na ID jako F. Ta prostopadłość jest również dwusieczną kąta IED. Mamy:
$\angle IEF=\frac{\angle BEI}{2}=\frac{\angle ACB}{2}$
Co powoduje:
$\angle BCI=\angle IEF$
Możemy to również pokazać $EC=ED$. Oznacza to, że punkty B, I, D i C znajdują się na obwodzie środka koła w E. Rozważmy teraz trójkąt IBC, DE jest w rzeczywistości promieniem tego okręgu, więc używamy następującego wzoru do obliczenia jego miary:
$DE=R=\frac{BI\times IC\times BC }{2S}$
Gdzie S jest obszarem tego trójkąta. Teraz wszystko, czego potrzebujemy, to znaleźć miary BI, IC. Mając je, możemy znaleźć S za pomocą wzoru Haruma i znaleźć R.