Znajdź długość PQ.

Question

---

Pozwolić $ABC$być trójkątem. Niech zewnętrzna dwusieczna kąta$A$ spotkać okręg opisany w trójkącie $ABC$ ponownie o godz $M \neq A$. Okrąg ze środkiem$M$ i promień $MB$ styka się z wewnętrzną dwusieczną kąta $A$ w punktach $P$ i $Q$. Określ długość$PQ$ pod względem długości $AB$ i $AC$.

Czy ktoś mógłby podać rozwiązanie? Wydaje się, że nie mogę zrobić żadnego znaczącego postępu w tej kwestii.

Edycja: Oto oryginalny projekt, który stworzyłem w Geogebra. Mam nadzieję, że dzięki temu schemat będzie jaśniejszy.

https://www.geogebra.org/classic/ezted9sg

Answer 1

Spróbuj to udowodnić ...

• Znajdź długość $MA=2R\cos(\frac{A+2C}{2})$pierwszy. ( Gdzie$R$ jest promieniem obwodu trójkąta).

• Następnie znajdź $MB=2R\cos(\frac{A}{2})$ używając Sine Law (Chase the Angles) w $\triangle MAB$

• Na koniec zastosuj twierdzenie Pitagorasa w $\triangle MAQ$

$MQ^2-MA^2=MB^2-MA^2=AQ^2$ i $PQ=2AQ$