Что такое теория чисел?

Любой, кто когда-либо влюблялся, скажет вам, что важны мелочи в другом человеке. Глупые шутки, которыми поделились в конце дня. Особенности чужого утреннего кофейного ритуала. Как он или она кладут старые книги в мягкой обложке на тумбочку. Такие взаимосвязанные детали определяют нас. Они прослеживают скрытые течения нашей личности и для наблюдательного и любящего глаза освещают истинную красоту.

По мнению некоторых, нет ничего прекраснее того, что можно найти в математике. Они смотрят на мир чисел, и так же, как вы никогда не определили бы своего возлюбленного человека исключительно по его профессии или цвету волос , любитель математики видит не только функцию чисел. Подобные числа 6, 28 и 496 превращаются в нечто более возвышенное, чем простые носители информации. Независимо от их использования числа становятся интересными сущностями, а их математические отношения выражают сложность огромной системы, лежащей в основе самой природы.

Изучение этих иногда тонких и далеко идущих взаимосвязей - это теория чисел , которую иногда называют высшей арифметикой . Теоретики чисел тщательно исследуют свойства целых чисел , натуральных чисел, известных вам как -1, -2, 0, 1, 2 и так далее. Это отчасти теоретическое, а отчасти экспериментальное, поскольку математики стремятся открывать увлекательные и даже неожиданные математические взаимодействия.

Какие отношения? Ну, на самом деле мы классифицируем целые числа на разные числовые типы на основе их отношений. Есть, конечно, нечетные числа (1,3, 5…), которые нельзя разделить равномерно, и четные числа (2, 4, 6…), которые можно. Есть квадратные числа , полученные путем умножения другого числа на себя. Например, 2 x 2 = 4 и 3 x 3 = 9, поэтому 4 и 9 являются квадратными числами. Таким образом, 1 (1 x 1 = 1) и 9 801 (99 x 99 = 9 801). Мы также выражаем эти четыре примера как 2 ² , 3 ² , 1 ² и 99 ² .

А теперь давайте добавим этому примеру еще один уровень интриги. В некоторых случаях мы можем сложить квадратные числа вместе, чтобы получить другие квадраты чисел в так называемой тройке Пифагора , поскольку они соответствуют теореме Пифагора (a ² + b ² = c ² ). Примером этого является 3 ² + 4 ² = 5 ² или 3, 4, 5.

Теория чисел предполагает анализ таких математических соотношений, а также постановку новых вопросов о них. Но что такое теория чисел? Что входит в формулировку доказательства и почему некоторые математические вопросы остаются без ответа на протяжении веков?

Итак, мир математики предлагает множество типов чисел, каждый со своими особыми свойствами. Математики формулируют теории о взаимосвязи между числами и группами чисел. Они поддерживают свои теории с помощью аксиом (ранее установленные утверждения, которые считаются истинными) и теорем (утверждения, основанные на других теоремах или аксиомах).

Однако первый шаг в построении блестящей новой математической теории - это теоретический вопрос о числовых отношениях. Например, может ли сумма двух кубов быть кубом? Помните пифагорейские тройки с предыдущей страницы? Эти тройки из трех чисел, такие как (3, 4, 5), решают уравнение a ² + b ² = c ² . Но как насчет a ³ + b ³ = c ³ ? Математик Пьер де Ферма задал тот же вопрос о кубах и в 1637 году утверждал, что разработал математическое доказательство, которое строчка за строчкой кропотливой логики без всяких сомнений показало, что нет, сумма двух кубов не может быть куб. Мы называем этоПоследняя теорема Ферма . К сожалению, вместо того, чтобы предоставить полное доказательство в своих заметках, Ферма просто написал: «У меня есть поистине чудесная демонстрация этого утверждения, которое на этом поле слишком мало, чтобы вместить его» [источник: NOVA ].

За этим последовало более трех с половиной столетий, в течение которых математики всего мира тщетно пытались заново открыть доказательство Ферма. Что ехало в этом квесте? Ничего, кроме академической гордости и любви к чистой абстрактной математике. Затем, в 1993 году, с помощью вычислительной математики, еще не открытой во времена Ферма, английский математик Эндрю Уайлс сумел доказать теорему 356-летней давности. Эксперты продолжают спорить, действительно ли Ферма разработал такое феноменальное доказательство в докомпьютерную эпоху , или он ошибался.

Другие вопросы теории чисел, связанные с различными предполагаемыми или теоретическими моделями чисел или числовых групп. Все начинается с самого важного аспекта разумного мышления: распознавания образов. Профессор математики Университета Брауна Джозеф Х. Сильверман излагает пять основных шагов в теории чисел:

Таким образом, Великая теорема Ферма на самом деле была гипотезой в течение 356 лет и стала истинной теоремой только в 1993 году. Другие, такие как Доказательство бесконечности простых чисел Евклида (которое доказывает, что простые числа безграничны), остались надежной моделью математических рассуждений с тех пор, как 300 г. до н.э. Другие гипотезы теории чисел, как старые, так и новые, остаются не доказанными.

Числа так же бесконечны, как человеческое понимание конечно, поэтому теория чисел и ее различные подполи будут продолжать увлекать умы любителей математики на века. Старые проблемы могут исчезнуть, но возникнут новые и более сложные предположения.

Изучите ссылки на следующей странице для получения дополнительной информации по математике.

Новые приложения

По большей части теория чисел остается чисто абстрактной областью математических исследований, но приложения действительно существуют в области криптографии, где теория чисел может создавать простые, но очень надежные коды. Другие области применения включают цифровую обработку информации, вычисления, акустику и кристаллографию.

Статьи по Теме

Источники