Фракталы и их размеры

Фракталы — это сумасшедшие формы, демонстрирующие порядок и узоры в хаотических рисунках. У него много захватывающих изгибов. Эти интересные узоры были изучены индивидуально из-за их уникальных свойств. Одним из них является треугольник Серпинского .

Треугольник Серпинского в основном представляет собой равносторонний треугольник, который разделен на четыре равносторонних треугольника (как показано на изображении ниже), а центральный треугольник удален. Затем эти подтреугольники снова аналогичным образом делятся на четыре равносторонних треугольника, а центральный треугольник удаляется. Этот процесс повторяется бесконечно, и в процессе полученный сложный треугольник является треугольником Серпинского. Теперь, если в треугольнике Паскаля все нечетные числа окрашены в черный цвет, а четные числа окрашены в белый цвет, то в конечном итоге вы получите треугольник Серпинского. Неожиданно, правда?

Фракталы — это не только математически созданные случайные формы или узоры. Это также было видно на графике населения. Было замечено, что продовольствие увеличивалось линейно, а население увеличивалось экспоненциально. Позже было обнаружено, что население не увеличивалось таким образом. Несколько лет она увеличивалась, затем из-за дефицита пищи и ресурсов снова снижалась. Эти изменения населения следовали простой функции,

[Пусть приведенное выше уравнение будет помечено (1).]

Где X — население текущего года, X_next — население года, следующего за X, а r — некоторая константа, которую можно скорректировать в соответствии с моделируемым населением. Для наблюдения за долгосрочным поведением систем эта формула повторялась снова и снова, чтобы посмотреть, что произойдет. Этот процесс называется итерацией.

Уравнение (1) построено, приняв 'r' равным 3,5 и предполагая в гипотетической ситуации, что значение X находится только между 0 и 1, и повторяется бесконечно. Получился следующий график:

Этот граф считался фракталом, так как проявлял в нем свойство самоподобия. Когда вы увеличиваете масштаб «окна порядка» графика, который представляет собой большой разрыв на графике, вы заметите, что тот же исходный график снова присутствует в этом окне. Чем больше вы увеличиваете масштаб, тем больше раз за разом находите один и тот же график в окне хаоса. Этот фрактал назывался «смоковница».

Как я уже упоминал в одной из своих предыдущих статей, фракталы представляют собой грубые и неправильные формы. Эту шероховатость и неравномерность можно легко рассчитать. Как? Рассчитав их фрактальную размерность. Феликс Хаусдорф и Абрам Безикович обнаружили, что фракталы имеют нецелочисленные измерения. Они описали, что фракталы — это кривые, размерность которых находится «между» целочисленными измерениями. Таким образом, эти фрактальные размерности также называют размерностью Хаусдорфа-Безиковича. Но как рассчитать эти размеры? Есть два основных метода, которые можно использовать для простого расчета размерности.

Во-первых, используя свойство самоподобия, которым обладают фракталы. Давайте возьмем фигуры с известными размерами 1,2 и 3. Для первого измерения возьмем линию длиной 1 единицу и уменьшим ее до 1/4 исходной длины. Итак, его длина теперь составляет 1/4 единицы. Чтобы получить исходную длину, мы должны умножить эту 1/4 часть линии четыре раза. Пусть коэффициент, на который уменьшается масштаб линии, равен «s», число, на которое умножается «s» для получения исходной длины, равно «n», а размер равен «D». Таким образом, вы заметите, что в этом случае

Эта формула верна для любой размерности. Предположим, мы пытаемся доказать это, используя площадь двумерной фигуры. Итак, давайте уменьшим каждую сторону квадрата, имеющего единичную длину, до 1/2 его исходной длины, чтобы его площадь уменьшилась. 1/4. Таким образом, чтобы получить исходный квадрат, нам нужно умножить уменьшенный квадрат в 4 раза.

Таким образом, D = 2, что и требовалось.
Точно так же это можно доказать для трехмерной формы.

Таким образом, найдено общее уравнение:

Уравнение (2) является одной из формул, которые можно использовать для нахождения фрактальной размерности фигуры. Теперь предположим, что мы возьмем кривую Коха,

При указанных выше значениях n и s, если мы попытаемся вычислить его фрактальную размерность с помощью уравнения (2), мы приблизительно получим 1,26. Это размерность фрактала, кривой Коха.

Во-вторых, с помощью метода подсчета по сетке.
В этом методе вам нужно просто нарисовать сетки на фрактальном изображении, каждый прямоугольник в нем имеет масштаб в 1 единицу. Затем снова нарисуйте на нем сетку, но на этот раз масштаб каждой ячейки будет 1/2. Опять же, каждая коробка имеет масштаб 1/4. Подсчитайте количество ящиков, через которые проходит фрактал. Вы можете рассчитать размер, используя следующую формулу:

где n(·) — количество квадратов, содержащих изображение, а 1/s — масштаб его сетки. Теперь мы можем рассчитать размерность кривой Коха. Ниже приведены три сетки масштаба в соотношении 1 : 1/2 : 1/4. При подсчете количество ящиков первой, второй и третьей сетки оказалось равным 18, 41 и 105 соответственно.

Расчет размера с использованием сетки масштаба 1 и 1/2,

Вычисление размера с использованием сетки масштаба 1 и 1/4,

Вычисление размера с использованием сетки масштаба 1/2 и 1/4,

Найдя среднее значение этих трех значений, оно оказалось примерно равным 1,27. Это близко к 1,26, что является исходным размером кривой Коха.

Таким образом, это два простых способа, которыми можно вычислить фрактальную размерность фрактального изображения.