Простое доказательство

Четное число плюс четное число дает четное число.

Нечетное число плюс нечетное число дает нечетное число.

Нечетное плюс четное дает нечетное.

Вероятно, вас учили этому простому правилу в начальной школе. Я был. И это похоже на правду. Попробуйте несколько раз, с разными номерами, и это всегда сработает. (Если это не так, проверьте свою работу. Если она по-прежнему не работает, опубликуйте.)

Но работает ли это для всех чисел? Независимо от того, насколько большой?

Разница между математикой, которой нас обычно учат в школе, и математикой, которой занимаются математики, заключается в следующем:

1. В школе нас учат такого рода правилам, чтобы мы могли использовать их, когда «занимались математикой».
2. Математики пытаются выяснить, что такое правила, и придумывают наиболее краткие и элегантные аргументы, чтобы показать, почему эти правила верны (или неверны).

Как убедительно (и с юмором) описывает Пол Локхарт в своем эссе «Плач математика», искусство нахождения истины — это и настоящая математика, и очень веселое занятие. И это не обязательно должны быть формальные жесткие доказательства, которым иногда учат в школе. Это просто поиск закономерностей и элегантный аргумент.

Вместо того, чтобы рассказывать молодым ученикам правила о суммах нечетных и четных чисел, что, если бы мы сначала попросили их выяснить, какими могут быть правила, а затем попросили их придумать объяснение, почему это правило?

Вот пример мышления, которое может привести к «доказательству», которое является лишь одним из многих возможных решений:

Во-первых, будем считать не абстрактными цифрами, а осязаемыми предметами, в данном случае квадратами. Вот пять квадратов:

[картинка из нескольких произвольно расположенных квадратов]

Поскольку четное число означает, что его можно разделить на два, мы знаем, что можно расположить четное количество квадратов в два ряда одинаковой длины, и концы будут «квадратными»:

С другой стороны, нечетное число всегда будет иметь «рваный» конец, когда строки не выстраиваются в линию:

Переставив эти картинки, мы теперь можем видеть, что наши правила кажутся верными. Два четных числа, поставленные встык, имеют четные концы.

Если перевернуть одно нечетное число и склеить два рваных конца вместе, у двух нечетных чисел также будут четные концы.

Но один нечетный и один четный, как бы мы ни переворачивали и ни вращали, никогда не дает нам четных концов.

Это будет верно независимо от того, насколько длинными будут наши числа, потому что важно лишь то, рваные концы или квадратные. (Эти штуки с молниями предназначены для обозначения произвольного расстояния… представьте, что там тысячи квадратов.)

КЭД

Является ли это действительным математическим доказательством? Это имеет значение? Ребенок или группа детей, потратившие время на придумывание такого рода «доказательств», разовьют понимание и, возможно, энтузиазм в отношении математики, чего им не дадут никакие механические упражнения. Что еще более важно, они начнут узнавать, «что делать, когда вы не знаете, что делать». То есть уверенность в решении проблем, с которыми вы раньше не сталкивались, вместо того, чтобы просто следовать шагам решения проблем, которые у вас есть.