Mathématiques hyperconcises D5 : Nombres complexes

Les coordonnées polaires (r, θ) = (magnitude, angle antihoraire avec cartésien (1, 0)) peuvent être utilisées pour suivre les angles entre plusieurs vecteurs en deux dimensions. Ils sont liés aux coordonnées cartésiennes (x, y) par les équations x = r⦁cos(θ) et y = r⦁sin(θ) ((−r, θ) fait référence au point (r, θ + τ/2 ), et si k est un entier quelconque, (r, θ + k⦁τ) fait référence au point (r, θ)). Résolution pour r et θ, r² = x² + y² et

Par exemple,

Multiplier un nombre (vecteur à 1 dimension) par −1 le fait tourner de τ/2 radians autour de 0 (dans un espace à 1 dimension). On peut définir un nouveau type de nombre (i) tel que multiplier un nombre par i le fait tourner de τ/4 radians autour de 0 (dans le plan complexe) ; tout nombre sous la forme x + i⦁y, où x et y sont des nombres réels (tout nombre qui peut être défini comme la limite d'une expression décimale) et i² = −1 est connu comme un nombre complexe. Le plan complexe est l'espace à 2 dimensions qui contient tous les nombres complexes.

Si z est un nombre complexe (e est une constante définie avec le calcul),

Par exemple,

Lorsque vous utilisez les propriétés des « fonctions » inverses avec des nombres complexes, vous ne pouvez plus ignorer les autres branches :

Théorème fondamental de l'algèbre : si chaque aₖ et bₖ est un nombre complexe qui ne dépend pas de z (certains peuvent être égaux), alors