Qual è l'area tra la curva e l'asse x?
Per conoscere la storia e la costruzione della curva, dai un'occhiata a questo articolo ! Se sei abbastanza coraggioso da risolvere la sfida, continua a leggere!
Costruzione e sfida
La figura sopra mostra un cerchio di raggio a centrato nel punto C = (0, a) .
I punti (x, y) si ottengono come segue: tracciare una retta dal punto O = (0, 0) a qualsiasi punto della retta y = 2a .
Indichiamo questo punto con B . La linea tracciata interseca la circonferenza nel punto A .
Disegna una linea orizzontale attraverso A e una linea verticale attraverso B .
Il punto in cui queste due linee si intersecano è il punto (x, y) .
Riesci a trovare l'area tra la strega e la sua linea asintotica? Quella è l'area tra la curva rossa e l'asse x?
Parte 1: Equazioni parametriche
Per calcolare l'area richiesta come integrale, dobbiamo prima trovare le equazioni parametriche per i punti (x, y) in termini dell'angolo θ , dove θ è l'angolo tra l' asse y positivo e la linea OB .
Si noti che il diametro del cerchio è 2a .
Il raggio, dall'origine a C , è quindi a . Per un punto arbitrario y sulla curva rossa, la sua lunghezza è a più la lunghezza di CD .
Cos'è CD in termini di a e θ ?
Pertanto, la coordinata y può essere parametrizzata come segue.
E la coordinata x ?
Pertanto, la coordinata x può essere parametrizzata come segue.
Possiamo manipolare ulteriormente la nostra espressione e arrivare alla seguente parametrizzazione.
Parte 2: Risolvere per y
Per rappresentare l'area come un integrale, vogliamo stabilire una funzione y in termini di x basata sulle equazioni parametriche di cui sopra.
Per prima cosa iniziamo manipolando x .
Risolviamo quindi per y , ottenendo quanto segue.
Parte 3: Un integrale improprio
Poiché l'area si estende dall'infinito negativo fino all'infinito positivo, impostiamo il seguente integrale.
Prova a calcolare tu stesso questo integrale prima di continuare a leggere!
Per risolvere questo integrale, iniziamo con la seguente sostituzione.
Dopo la sostituzione, trasformiamo il nostro integrale nel seguente.
Abbiamo semplificato la frazione ed eliminato il fattore 4a² .
E questo è un buon posto dove fermarsi.
(Controlla il nostro grafico di arctan(x) per valutare i limiti!)
La strega di Agnesi: il mistero di un'affascinante curva matematicaGrazie per aver letto. Non dimenticare di applaudire l'articolo se lo trovi perspicace.
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![Che cos'è un elenco collegato, comunque? [Parte 1]](https://post.nghiatu.com/assets/images/m/max/724/1*Xokk6XOjWyIGCBujkJsCzQ.jpeg)
