introduzione

Un contratto a termine è un accordo tra due controparti per negoziare un'attività specifica, ad esempio un'azione, a un certo momento futuro T ea un certo prezzo K . Al momento attuale t ≤ T , una parte si impegna ad acquistare l'attività a T per un prezzo di K , ed è effettivamente long sul contratto. La controparte si impegna a vendere l'attività a T per un prezzo di K , ed è effettivamente short sul contratto. Il prezzo K è noto come prezzo di consegna e il tempo T è noto come scadenza.

Prezzo del contratto a termine

Sia Vₖ(t, T) il valore di essere lungo un contratto a termine su un'azione S al tempo t con prezzo di consegna K e scadenza T , e sia S(t) il prezzo dell'azione S al tempo t , è semplice vedere che il valore del contratto a termine alla scadenza è semplicemente la funzione di payout lineare Vₖ(T, T) = S(T) — K .

Definiamo il prezzo forward F(t, T) al tempo t come il prezzo di consegna K tale che Vₖ(t, T) = 0 , cioè tale che il valore del contratto forward sia zero al tempo t . Inoltre, per definizione, si può andare long su un contratto forward con prezzo di consegna K = F(t, T) senza costi iniziali. Naturalmente segue che F(T, T) = S(T) .

Consideriamo una Vₖ(t, T) e una F(t, T) più generali in t ≤ T . Sia r l' interesse costante zero con capitalizzazione continua ed eliminiamo ogni dipendenza del tasso di interesse dal tempo, per un contratto a termine su un particolare titolo S che non paga dividendi, affermiamo che F(t, T) = S(t)eʳ ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Il modo in cui dimostriamo l'affermazione di cui sopra è attraverso il teorema fondamentale del prezzo delle attività , che afferma che non ci sono mai opportunità di arbitraggio in un mercato efficiente. In parole povere, non si può semplicemente iniziare con un portafoglio vuoto e finire con un portafoglio di valore positivo solo eseguendo transazioni sul mercato.

Si consideri lo scenario in cui F(t, T) < S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ , al tempo t , un trader con un portafoglio vuoto può long su un contratto forward, vendendo immediatamente il titolo S al prezzo corrente di mercato S( t) , e depositare il denaro a un tasso di interesse di r .

Al tempo T , il trader dovrà acquistare il titolo al prezzo di consegna precedentemente concordato F(t, T) per il contratto a termine. Il trader riceverà anche il denaro depositato per un totale di S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . Poiché F(t, T) < S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ , il trader finisce con un portafoglio S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ — F(t, T) > 0 , che contraddice il nostro punto di partenza presupposto di “ no arbitraggio ”.

Al contrario, supponiamo che F(t, T) > S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ , al tempo t, un trader può vendere allo scoperto un contratto forward, prendere in prestito S(t) quantità di denaro al tasso di interesse r per acquistare e detenere il azione S al prezzo corrente di mercato S(t) .

Al tempo T , il trader venderà l'azione a F(t, T) e ripagherà il prestito con interessi maturati per un totale di S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . Ancora una volta, il trader rimane con un portafoglio positivo F(t, T) — S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ > 0 .

Nell'esempio precedente, abbiamo ipotizzato che i tassi di interesse per il deposito di denaro e per il prestito di denaro siano gli stessi. In realtà, di solito c'è uno spread tra il tasso di prestito e il tasso di prestito. Sia r₁ il tasso di prestito e sia r₂ il tasso di prestito ( r₁ < r₂ risultante nello spread bid-ask). Possiamo ora costruire i limiti inferiore e superiore per il prezzo forward S(t)eʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ ≤ F(t, T) ≤ S(t)eʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

La dimostrazione segue la stessa logica di prima. Si noti che se il trader allunga un contratto e vende immediatamente l'azione a S(t) ora, S(t) può essere depositato solo al tasso di prestito corrente r₁ . Al contrario, se il trader va allo scoperto su un contratto e prende in prestito una somma di denaro S(t) per acquistare l'azione a S(t) , il tasso di interesse sul prestito è il tasso debitore r₂ .

Prezzo del contratto a termine con dividendo

Facendo un ulteriore passo avanti, consideriamo ora un'azione S che paga un rendimento da dividendo noto p , espresso come percentuale del prezzo dell'azione su base annua continuamente composta. Affermiamo che il prezzo forward per il contratto forward su un'azione S con l'attuale prezzo di mercato S (t) all'istante t è F(t, T) = S(t)e⁽ʳ⁻ᵖ⁾⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Otteniamo questo risultato utilizzando due portafogli. Sia il portafoglio A costituito da e⁻ᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ unità del titolo con dividendi continuamente reinvestiti nel titolo e sia il portafoglio B costituito da un contratto a termine sul titolo con prezzo di consegna K e scadenza T e Ke⁻ʳ⁽ᵀ⁻ ᵗ⁾ importo in contanti.

Al tempo T , il portafoglio B ha liquidità per un totale di Ke⁻ʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = K , che a sua volta viene speso per esercitare l'opzione forward e ottenere l'azione S il cui prezzo corrente di mercato è S(T) , compensando il valore del portafoglio B con S(T) . Allo stesso modo, il portafoglio A ha il valore di S(t) . eᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = S(T) . e⁻ᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . eᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = S(T) . Poiché entrambi i portafogli A e B hanno lo stesso valore S(T) al tempo T e non abbiamo né aggiunto né sottratto nulla di valore diverso da zero tra il tempo t e T, ne consegue che i due portafogli devono avere anche lo stesso valore al tempo t , cioè S(t) . e⁻ᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = Vₖ(t, T) + Ke⁻ʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Tornando alla nostra definizione del prezzo forward F(t, T) , F(t, T) è il prezzo di consegna K tale che Vₖ(t, T) = 0 . Usando la formula che abbiamo appena derivato, ora abbiamo S(t) . e⁻ᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = 0 + F(t, T)e⁻ʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . Riordinando i termini su entrambi i membri, abbiamo infine ottenuto il risultato F(t, T) = S(t)e⁽ʳ⁻ᵖ⁾⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Pricing contratto a termine su valuta estera

Utilizzando la stessa logica, possiamo ottenere il prezzo a termine di un contratto a termine su una valuta estera f . Sia X(t) il prezzo al tempo t in dollari USA di una unità di detta valuta estera f . Sia r₁ il tasso zero del dollaro e r₂ il tasso zero estero , sia costante che composto continuamente. Allora F(t, T) = X(t)e⁽ʳ¹⁻ʳ²⁾⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Consideriamo il portafoglio A con e⁻ʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ unità della valuta estera f . E portafoglio B con un contratto a termine con prezzo di consegna K in dollari USA e scadenza T e Ke⁻ʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ importo in contanti in dollari USA .

Alla scadenza, il portafoglio B ha Ke⁻ʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . eʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = K importo di dollari USA che viene successivamente speso per esercitare il contratto a termine per ricevere un'unità della valuta estera f . Allo stesso modo, il portafoglio A ha e⁻ʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . eʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = 1 unità della valuta estera f all'istante T . Poiché entrambi i portafogli sono costituiti esattamente da un'unità di valuta f all'istante T e non sono state effettuate transazioni aggiuntive di valore diverso da zero tra l'istante t e T , devono avere lo stesso valore all'istante t. Pertanto, X(t) . e⁻ʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = Vₖ(t, T) + Ke⁻ʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . Ancora una volta, ponendo Vₖ(t, T) = 0 e K = F(t, T) , arriviamo a F(t, T) = X(t)e⁽ʳ¹⁻ʳ²⁾⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Un caso di studio

I contratti a termine su cambi sono tra i contratti derivati ​​più liquidi al mondo e spesso rivelano di più sullo stato di salute dei mercati monetari (mercati per prendere in prestito o prestare denaro contante) rispetto agli stessi tassi di interesse a breve termine pubblicati. Considera le seguenti due domande.

(a) Il 3 ottobre 2008, il tasso di cambio euro dollaro era scambiato a € 1 = $ 1,3772 e il prezzo a termine per un contratto a termine del 3 aprile 2009 era di $ 1,3891. Supponendo che i tassi di interesse in euro a sei mesi fossero del 5,415%, qual è il tasso di interesse in dollari a sei mesi implicito? Entrambi i tassi di interesse sono quotati con act/360 day-count e capitalizzazione semestrale . (Ci sono 182 giorni tra il 3 ottobre 2008 e il 3 aprile 2009.)

In questo caso, t = 0, T = 182, X(0) = 1.3772, F(0, 182) = 1.3891.

Utilizzando il risultato ottenuto in precedenza, F(0, 182) = X(0) . e⁽ʳ¹⁻ʳ²⁾⁽¹⁸²⁻⁰⁾ , dove r₁ e r₂ sono rispettivamente il tasso zero del dollaro costante e composto continuamente e il tasso zero estero.

eʳ²⁽¹⁸²⁻⁰⁾ è il valore finale di 1€ dopo 182 giorni di capitalizzazione continua a tasso euro costante r₂ , che equivale a 182 giorni di capitalizzazione semestrale al tasso euro semestrale del 5,415% quotato con atto /360 giorni. Ovvero, eʳ²⁽¹⁸²⁻⁰⁾ = 1 * 182/360 * ((1 + 0.05415/2)² — 1) + 1. Il primo termine è semplicemente l'interesse maturato su 1€ in 182 giorni.

Allo stesso modo, sia x il tasso implicito del dollaro a sei mesi, eʳ¹⁽¹⁸²⁻⁰⁾ = 1 * 182/360*((1 + x /2)² — 1) + 1.

Sostituendo e riorganizzando i termini, risolviamo x e otteniamo x = 7,11820941%. Quindi il tasso implicito del dollaro a sei mesi è 7,11820941%.

(b) I tassi del dollaro a sei mesi pubblicati erano in realtà 4,13125%. Quale opportunità di arbitraggio esisteva? Di cosa ha bisogno un potenziale arbitraggio per sfruttare questa opportunità?

Un arbitraggista può eseguire la seguente transazione da sfruttare:

Il 3 ottobre 2008, lungo un contratto a termine del 3 aprile 2009, vendi € 1 a $ 1,3772 e deposita $ 1,3772 a 4,13125%.

Alla scadenza del 3 aprile 2009, recupera dal deposito con interessi per un totale di $ 1,3772 * {[(1 + 0,0413125/2)² — 1] * 182/360 + 1} = $ 1,406260951 e acquista € 1 a $ 1,3891 per il contratto a termine. Guadagnando $ 1,406260951 — $ 1,3891 = $ 0,01716095091 per ogni contratto acquistato dall'arbitraggio.

Riferimenti:

1. Un'introduzione alla finanza quantitativa . Stefano Blyth.https://vittaquant-ai.com/wp-content/uploads/2021/08/An-Introduction-to-Quantitative-Finance-by-Stephen-Blyth.pdf
2. https://quant.stackexchange.com/questions/68515/how-to-derive-forward-price-on-stock-with-continuous-dividend
3. Il primo teorema fondamentale del prezzo delle attività. Dipartimento di Matematica Cornell.http://pi.math.cornell.edu/~mec/Summer2008/spulido/fftap.html