Annihilator of Simple Module

Question

Pozwolić $C$ być nieskończenie wygenerowanym $R$-algebra gdzie $R$jest pierścieniem przemiennym jedności. Pozwolić$S$ być prostym $C$-moduł. Pokaż, że niszczyciel$S$ w $R$ to maksymalny ideał.

Próbowałem: kiedy $C=R$ to jest bezpośrednią konsekwencją prostoty $S$ jako $R$-moduł. Ponadto od$S$ jest więc proste $S$ jest cykliczny (tj $S=Cy$ dla wartości niezerowej $y\in S$). Rozważ mapę$$f: C \to S$$ $$c \mapsto cy$$ Następnie $\ker(f)$ jest anihilatorem $S$ w $C$ i $\ker(f) \cap R$ jest anihilatorem $S$ w $R$. Pokazałem, że jest to ideał$R$ale nie mam pomysłu, aby dalej pokazywać maksymalność. Czy to prawdziwy kierunek, czy jest jeszcze coś, co powinienem rozważyć, aby pokazać maksymalność?

Answer 1

Wpadłem na pomysł: jeśli ograniczymy mapę $f: C \to S$ na $R$. Następnie mamy izomorfizm pomiędzy$f(R)=Ry$ i iloraz $R/(\ker(f) \cap R)$, gdzie $\ker(f) \cap R$ jest anihilatorem $S$ w $R$.

Więc żeby pokazać $R/(\ker(f) \cap R)$ jest maksymalna, wystarczy to pokazać $Ry$ jest prosty jak plik $R$-moduł. Pozwolić$ry \in Ry$być elementem niezerowym. Wtedy wyraźnie$Ry$ zawiera $\langle ry \rangle$ tak jak $R$-moduły. I odwrotnie, ponieważ$ry \in Ry \subset S$ jest różna od zera, $\langle ry \rangle = S \supset Ry$. Więc$Ry = \langle ry \rangle$ dla dowolnej wartości niezerowej $ry \in Ry$. Hnece$Ry$ jest proste i $R/(\ker(f) \cap R)$ jest maksymalny.

Proszę o informację, jeśli moja odpowiedź jest niejednoznaczna.