Cramer-Rao dolna granica dla $g(\lambda)$ = $e^{-\lambda}$ kiedy $x_i \sim Pois(\lambda)$

Question

Pozwolić $x_1 ... x_n$ być $Pois(\lambda)$, $\lambda>0$ i $n \geq 2$. Posługiwać się$W(X)=I(X_1=0)$ szacować $g(\lambda)=e^{-\lambda}$. Dodatkowo,$T(X)= \sum_{i=1}^n X_i$ jest wystarczającą statystyką dla $\lambda$.

Już to udowodniłem $\phi(T(X))=(1-\frac{1}{n})^{\sum_{i=1}^n X_i}$ jest bezstronnym estymatorem $e^{-\lambda}$.

Chcę to udowodnić $\phi(T(X))$ osiąga dolną granicę Cramer-Rao, ale gubię się, próbując ją obliczyć, stosując definicję.

Answer 1

Najpierw obliczyć wariancję $\phi(T(X))$:

$$\begin{align} \mathbb E[\phi(T(X))^2]&=\sum_{k=1}^\infty \frac{e^{-n\lambda}(n\lambda)^k}{k!}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2k}\\ &=e^{-n\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{(n\lambda)^k}{k!}\left(1-\frac 2n+\frac 1{n^2}\right)^k\\ &=e^{-n\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\left(n\lambda-2\lambda+\frac{\lambda}{n}\right)^k\\ &=e^{-n\lambda}\cdot e^{n\lambda-2\lambda+\frac\lambda n}\\ &=e^{\lambda\left(\frac{1}{n}-2\right)} \end{align}$$

I korzystając z tego $\phi(T(X))$ jest bezstronny:

$$\begin{align} \text{Var}(\phi(T(X)))&=\mathbb E[\phi(T(X))^2]-\mathbb E[\phi(T(X))]^2\\ &=e^{\lambda\left(\frac{1}{n}-2\right)}-e^{-2\lambda}\\ &=e^{-2\lambda}\cdot\left(e^{\lambda/n}-1\right) \end{align}$$

Teraz musimy porównać to z połączeniem Cramér-Rao. Funkcja prawdopodobieństwa jest określona wzorem:

$$\begin{align} \ell(\lambda)&=\sum_{i=1}^n\log\left(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{X_i}}{X_i!}\right)=-n\lambda + \log(\lambda)T(X)-\sum_{i=1}^n\log(X_i!) \end{align}$$

Następnie możemy uzyskać informacje Fishera:

$$\begin{align} \mathcal I_F&=-\mathbb E\left[\frac{\partial^2\ell(\lambda)}{\partial\lambda^2}\right]=\mathbb E\left[\frac{T(X)}{\lambda^2}\right]=\frac n\lambda \end{align}$$

Wreszcie Cramér-Rao skierował się do $g(\lambda)$ jest:

$$\frac{g'(\lambda)^2}{\mathcal I_F}=\frac{e^{-2\lambda}}{n/\lambda}=\frac{\lambda}{n}e^{-2\lambda}$$

Która różni się od wariancji, którą znaleźliśmy wcześniej, więc znaleziony przez ciebie estymator nie osiąga granicy Cramér-Rao . Możesz również udowodnić, używając rozwinięcia Taylora, że ​​twój estymator jest asymptotycznie wydajny , to znaczy, że wariancja estymatora jest asymptotycznie równa granicy Craméra-Rao.

Mam nadzieję, że to było pomocne!