Dlaczego numeric_limits Machine Epsilon nie spełnia warunku 1 + e> 1?
Jeśli się nie mylę, definicja Machine Epsilon jest najniższą liczbą spełniającą warunek:
Próbowałem to przetestować przy użyciu the, std::numeric_limits<float>::epsilon()
ale wartość nie jest satysfakcjonująca, jeśli spróbujesz uzyskać poprzednią liczbę zmiennoprzecinkową za pomocą std::nextafter
:
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <limits>
int main() {
float e = std::numeric_limits<float>::epsilon();
float previous = std::nextafter(e, -std::numeric_limits<float>::infinity());
std::cout << std::boolalpha << ((1.0f + previous) > 1.0f) << std::endl;
return 0;
}
To nadal powoduje, że wyjścia true
https://coliru.stacked-crooked.com/a/841e19dafcf0bf6f.
Po próbie uzyskania numeru za pomocą std::nextafter
zauważyłem, że właściwy Machine Epsilon powinien być:
std::nextafter(std::numeric_limits<float>::epsilon() / 2.0f, std::numeric_limits<float>::infinity())
Przetestowałem to za pomocą tego kodu:
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <limits>
bool verify(float e) {
return ((1.0f + e) > 1.0f);
}
int main() {
std::cout.precision(std::numeric_limits<float>::digits);
std::cout << std::boolalpha << std::fixed;
float epsilon = std::numeric_limits<float>::epsilon();
float last = epsilon;
while (true) {
last = std::nextafter(last, -std::numeric_limits<float>::infinity());
if ((1.0f + last) > 1.0f) {
epsilon = last;
} else {
break;
}
}
// Does not satisfy condition
std::cout << "last: " << verify(last) << " " << last << std::endl;
// Satisfy condition
std::cout << "epsilon: " << verify(epsilon) << " " << epsilon << std::endl;
float half_epsilon = std::numeric_limits<float>::epsilon() / 2.0f;
float actual_epsilon = std::nextafter(half_epsilon, std::numeric_limits<float>::infinity());
// Same as 'last' at this point
std::cout << "half_epsilon: " << verify(half_epsilon) << " " << half_epsilon << std::endl;
// Same as 'epsilon' at this point
std::cout << "actual_epsilon: " << verify(actual_epsilon) << " " << actual_epsilon << std::endl;
return 0;
}
To wyprowadza
last: false 0.000000059604644775390625
epsilon: true 0.000000059604651880817983
half_epsilon: false 0.000000059604644775390625
actual_epsilon: true 0.000000059604651880817983
https://coliru.stacked-crooked.com/a/3c66a2144e80a91b
Czy coś mi tu brakuje?
Odpowiedzi
Jeśli się nie mylę, definicja Machine Epsilon jest najniższą liczbą spełniającą warunek: [
1 + epsilon > 1
]
Blisko, ale mylisz się w kontekście C ++. (Uważam, że twoja definicja jest poprawna w innych, bardziej akademickich kontekstach.) Według cppreference.com , maszyna epsilon jest „różnicą między 1.0
i następną wartością reprezentowaną przez [określony] typ zmiennoprzecinkowy”. Maszyna epsilon spełnia 1 + epsilon > 1
wymagania, ale nie musi to być najniższa liczba, która to spełnia. Jest to jednak najniższa liczba, która spełnia ten warunek we wszystkich trybach zaokrąglania .
Ponieważ epsilon maszyny jest o wiele mniejsza niż 1.0
, między epsilon i 0.0
. (To jest podstawowy cel reprezentacji zmiennoprzecinkowych). Kiedy którekolwiek z nich jest dodawane 1.0
, wynik nie jest reprezentowalny, więc wynik należy zaokrąglić. Jeśli tryb zaokrąglania jest zbliżony do najbliższej możliwej do reprezentacji wartości, suma ta zostanie zaokrąglona do 1 + epsilon
ilorazu małej liczby mieszczącej się w przedziale od epsilon/2
do 3*epsilon/2
. Z drugiej strony, jeśli tryb zaokrąglania jest zawsze zbliżony do zera, otrzymasz oczekiwany wynik.
Spróbuj dodać #include <cfenv>
następujący wiersz do swojego kodu.
fesetround(FE_TOWARDZERO);
Powoduje to, że każda suma ściśle między 1.0
i 1 + epsilon
zaokrągla do 1.0
. Powinieneś teraz zobaczyć, jak epsilon maszyny zachowuje się zgodnie z oczekiwaniami.
Inne gwarantowane tryby zaokrąglania to w kierunku -infinity i w kierunku + nieskończoności. Szczegółowe informacje można znaleźć na stronie cppreference.com .