Dowód $e^x - 1 \le e x$ dla $x \in [0, 1]$

Question

Czytając niedawny artykuł, natknąłem się na nierówność: $e^x - 1 \le e x$ dla $x \in [0, 1]$.

Próbowałem to udowodnić, używając (odwrotnej) nierówności Bernoulliego, tj $(1 + y)^r \le 1 + ry$, dla $r \in [0, 1], y \in [-1, \infty)$, za tutaj . Tutaj używając podstawień$y = e - 1 \ge -1$ i $r = x \in [0, 1]$. Dało to: \ begin {align *} (1 + (e - 1)) ^ x & \ le 1 + x (e - 1) \\ \ implies e ^ x & \ le ex + (1 - x) \\ \ iff e ^ x - 1 & \ le ex - x \\ \ implies e ^ x - 1 & \ le ex \ quad \ text {od$x \in [0, 1] \Leftrightarrow - x \in [-1, 0]$} \ end {align *}

2 pytania: Po pierwsze, czy są jakieś problemy z powyższym dowodem? Po drugie, czy ktoś może zaproponować inny sposób, aby to udowodnić? W tym artykule wykorzystano wiele takich lematów, więc warto to sprawdzić.

Answer 1

Dla każdego $x\in[0,1]$ mamy: $$(1+ex-e^x)'=e-e^x\geq0$$ A zatem, $$1+ex-e^x\geq1+e\cdot0-e^0=0.$$

Możesz użyć Bernoulliego do następujących celów. $$(1+ex)^{\frac{1}{x}}\geq e$$ ale sprawdzić przed pierwotną nierównością $x=0.$

Answer 2

Dla $0\le x\le1$ mamy

$$e^x-1=\int_0^xe^t\,dt\le\int_0^xe\,dt=ex$$

od $e^t$ jest rosnącą funkcją $t$ (i $x\le1$).

Answer 3

Oto dowód wykorzystujący twierdzenie o wartości średniej. Nierówność jest trywialna dla$x=0$. Dla$0 < x \leq 1, $ definiować $$f: [0,x] \to \Bbb{R}: y \mapsto ey - e^y +1$$ Następnie $f'(y) = e-e^y \geq 0$ dla wszystkich $y \in [0,x]\subseteq [0,1]$. Według twierdzenia o wartości średniej, jest$\xi\in (0,x)$ z

$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= f'(\xi) \geq 0$$

Ale wtedy $$0 \le\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \frac{ex-e^x+1}{x}$$ a zatem $0 \leq ex-e^x+1 \iff e^x-1 \leq ex$ zgodnie z życzeniem.

Answer 4

Prawdopodobnie najbardziej wszechstronną nierównością dotyczącą wykładnictwa jest $$\tag1 e^t\ge 1+t$$ dla wszystkich $t\in \Bbb R$. Dla$x\ge0$ możemy złożyć wniosek $\int_0^x\mathrm dx$ po obu stronach i uzyskać $$\tag2 e^x\ge 1+x+\frac12x^2.$$ Stąd (przynajmniej dla $0\le x\le 1$) $$\begin{align} (1+\tfrac32x)e^{-x}&\ge (1+\tfrac32x)(1-x+\tfrac12x^2)\\ &=1+\frac12x-x^2+\frac34x^3\\&=1+\frac x4(2(1-x)^2+x^2)\\&\ge1.\end{align}$$ Mnożąc przez $e^x$ ($>0$) i przestawianie, $$e^x\le 1+\frac32x.$$ Twój lemat wynika z $e>\frac32$.