Ideał granicy $G/U \subset \overline{G/U}$

Question

Pozwolić $G$ być półprostą grupą algebraiczną, $B \subset G$ jest podgrupą borelowską i $U \subset B$ jest jedynym silnym rodnikiem $B$. Możemy rozważyć różnorodność$G/U$. Oznaczmy też$\overline{G/U}:=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[G/U])$. Wiadomo, że naturalny morfizm$G/U \rightarrow \overline{G/U}$jest otwartym osadzaniem. Pozwolić$\partial{G/U}$ być granicą $G/U$ wewnątrz $\overline{G/U}$. Zauważ teraz, że$\mathbb{C}[G/U]=\bigoplus_{\mu} V(\mu)$, gdzie suma przebiega przez dominujące znaki $\mu$ z $G$ (naprawiamy jakiś maksymalny torus $T \subset B$tutaj $V(\mu)$ jest nieredukowalną reprezentacją $G$ o największej wadze $\mu$).

Claim: ideał $\partial{G/U} \subset \overline{G/U}$ jest generowany przez $V(\mu)$ z $\mu$bycie regularnym (ściśle dominującym). Jak to udowodnić? Może są jakieś odniesienia?

Answer 1

Oto jeden ze sposobów, aby to zobaczyć, poprzez klasyfikację $G$- niezmienne radykalne ideały. (Ma to tę zaletę, że domyślnie opisuje granicę).

Lemat: $G$-invariant ideały $I$ z $\mathbb{C}[G/U]$ są w układzie dwuwtryskowym z zestawami ciężarków $S$ więc to dla $\lambda\in S$ i $\mu > \lambda$, $\mu\in S$. Taki ideał jest radykalny dla wszystkich$\lambda\notin S,$ mamy $n\lambda\notin S$ dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych $n$.

Aby to zobaczyć, zwróć uwagę na to $G$- niezmienność ci to mówi $I$ należy podzielić jako sumę $$\displaystyle\bigoplus_{\lambda\in S}V(\lambda)$$ dla jakiegoś zestawu $S$. Teraz jeśli$\lambda\in S,$ mapa mnożenia $V(\mu-\lambda)\otimes V(\lambda)\rightarrow V(\mu)$ jest surjektywny i stąd $\mu > \lambda$ musi być również w $S$.

Podobnie jest ze stwierdzeniem o radykalnych ideałach.

Z tego stwierdzenia widać, że minimalne wartości niezerowe $G$- niezmienny ideał radykalny (który z konieczności odcina granicę) odpowiada braniu $S$ zestaw wszystkich regularnych odważników.