Jakobian transformacji

Question

W Bayesian Data Analysis , ogólnodostępny PDF , sekcja 4.1 (strona 84, na dole) znajduje się komentarz mówiący:

Gdybyśmy zamiast tego skonstruowali normalne przybliżenie w kategoriach $p(\mu, \sigma^2)$, macierz drugiej pochodnej zostanie pomnożona przez jakobian transformacji z $\log\sigma$ do $\sigma^2$ a tryb zmieniłby się nieznacznie, na $\tilde{\sigma}^2 = \frac{n}{n+2}\hat{\sigma}^2$.

Moje pytanie brzmi: jak obliczyć jakobian z $\log\sigma$ do $\sigma^2$? Potrafię rozróżnić jedną funkcję względem drugiej, ale nie mogę pogodzić podanej zmiany trybu (co sprawia, że ​​myślę, że się mylę).

Z góry dziękuję

Answer 1

Dla parametru transform$$\eta\longmapsto\sigma^2=\exp\{2\eta\}$$Jakobian jest $$\frac{\text d\sigma^2}{\text d\eta}=2\exp\{2\eta\}=2\sigma^2$$a późniejsze zmiany z $p(\mu,\eta)$ w$$p^\prime(\mu,\sigma^2)=p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\times \frac{\text d\eta}{\text d\sigma^2} = p(\mu,\log(\sigma^2)/2) \frac{1}{2\sigma^2}$$który modyfikuje lokalizację trybu: $$\arg\max_{\mu,\sigma^2}p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\ne \arg\max_{\mu,\sigma^2}p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\frac{1}{2\sigma^2}$$ Mianowicie, $$\hat\sigma^2 = \arg\max_{\sigma^2} \left\{-n\log \sigma-\frac{n \hat\sigma^2}{2\sigma^2}\right\}$$ przeciw $${\tilde\sigma}^2 = \arg\max_{\sigma^2}\left\{-n\log \sigma-\frac{n \hat\sigma^2}{2\sigma^2}\underbrace{-\log \sigma^2}_{+\log \frac{\text d\eta}{\text d\sigma^2}}\right\}=\frac{n}{n+2}\hat\sigma^2$$