Jeśli $\lambda = \sum k_i \alpha_i$ i $P_\lambda \subseteq \cup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ dla niektórych $\alpha \in \Phi$.
To jest ćwiczenie 10.10 z książki Humphreysa o algebrach Liego.
Pozwolić $\Phi$ być systemem korzeniowym leżącym w przestrzeni euklidesowej $E$ i pozwól $\Delta = \{\alpha_1,\cdots,\alpha_\ell\}$ być podstawą do $\Phi$. Pozwolić$\lambda = \sum_i k_i \alpha_i$ ze wszystkimi $k_i\geq 0$ lub wszystko $k_i\leq 0, k_i \in \mathbb Z.$ Udowodnij, że też $\lambda$ jest wielokrotnością (prawdopodobnie 0) korzenia lub istnieje $\sigma \in \mathscr W$ (Grupa Weyl) takie, że $\sigma \lambda = \sum_i k_i'\alpha_i$ z odrobiną $k_i'>0$ a niektóre $k_i'<0$.
Podaje następującą wskazówkę: Jeśli $\lambda$ nie jest wielokrotnością żadnego pierwiastka, to hiperpłaszczyzna $P_\lambda$ ortogonalne do $\lambda$ nie jest uwzględniony w $\bigcup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha$. Brać$\mu \in P_\lambda \setminus \bigcup P_\alpha$ a następnie znajdź $\sigma \in \mathscr W$ dla których wszystko $(\alpha_i,\sigma\mu)>0$.
I nie mógł udowodnić , że$P_\lambda \not \subseteq \bigcup P_\alpha$aczkolwiek udało mi się ukończyć ćwiczenie w następujący sposób. Biorąc takie$\mu$, ponieważ każdy punkt w $E$ jest $\mathscr W$-koniugowane do punktu w podstawowej komorze Weyla, istnieje $\sigma \in \mathscr W$ dogadzający $(\sigma\mu, \alpha_i)>0$jak twierdzono. W szczególności każdy$\sigma \alpha_i \in \Phi$więc możemy pisać $\sigma\lambda = \sum k_i' \alpha_i$ dla niektórych (prawdopodobnie nowych) liczb całkowitych $k_i'$. Teraz,$\mu \in P_\lambda$, więc
$$ 0 = (\mu,\lambda ) = (\sigma\mu, \sigma \lambda) = \sum k_i'(\sigma\mu,\alpha_i)$$ sugeruje, że niektóre $k_i'>0$ a niektóre $k_i'<0$, jako warunki $(\sigma\mu ,\alpha_i)$ są pozytywne.
Powstaje zatem pytanie : jak to udowodnić$P_\lambda \not\subseteq \bigcup P_\alpha$? Wszystkie obliczenia, które do tej pory zrobiłem, były bezużyteczne, takie jak$0 = (\lambda,x) = \sum k_i (\alpha_i,x)$nie może nic sugerować. Próbowałem też zacząć od prostego $P_\lambda \subset P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ przez przypuszczenie $\lambda - c\alpha\neq 0$ i $P_\lambda \subseteq P_\alpha$, ale to tylko krzyczy $P_\lambda \subseteq P_{\lambda - c\alpha}$.
Jakaś pomoc? Dziękuję Ci.
Odpowiedzi
Lemat : Jeśli$H, H_1, ... H_r$ są hiperpłaszczyznami (tj $(n-1)$podprzestrzenie wymiarowe) w niektórych $n$-wymiarowa przestrzeń nad nieskończonym polem, i $H \subseteq \bigcup_{i=1}^n H_i$, następnie $H = H_j$ dla niektórych $1 \le j \le r$.
Dowód : z założenia mamy
$$H = H \cap \left( \bigcup_{i=1}^r H_i \right) = \bigcup_{i=1}^r (H \cap H_i).$$
Teraz przecięcie dowolnych dwóch hiperpłaszczyzn ma wymiar $n-2$chyba że dwie hiperpłaszczyzny są równe. Ale jeśli wszystkie miejsca w związku po prawej stronie są$(n-2)$- wymiarowe, ich związek nie może być$(n-1)$-wymiarowa przestrzeń na LHS. CO BYŁO DO OKAZANIA.
Aby zastosować to do swojego problemu: Jeśli $P_\lambda \subseteq \bigcup P_\alpha$, to w lemacie jest korzeń $\alpha$ takie że $P_\lambda = P_\alpha$, w konsekwencji $\langle \lambda \rangle = P_\lambda^\perp = P_\alpha^\perp = \langle \alpha\rangle$, tj $\lambda$ jest skalarną wielokrotnością $\alpha$.