Jeśli $r>0$ i $r\notin \mathbb{N}$, czy istnieje prosta metoda oceny $ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} {\binom{n}{r}^{-1}}?$
Pozwolić $r>0,r\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}$. Z empirycznego punktu widzenia zauważyłem następującą zależność:$$ \sum_{n=0}^{\lfloor r \rfloor} \frac{1}{\binom{n}{r}} = - \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}; $$w szczególności, $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}} =0}$. Zauważ, że jeśli$r$ jest liczbą całkowitą, skończona suma nie jest dobrze zdefiniowana, chociaż tak jest $$ \sum_{j=0}^{k-1} \operatorname{Res} \left(\frac{1}{\binom{z}{k}},z=j\right)= k\cdot\sum_{m=0}^{k-1}\binom{k-1}{m}(-1)^m=0, $$więc w tym sensie suma „anuluje”. Mathematica zwraca zamkniętą formę$$ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}= \frac{\lceil r\rceil }{(r-1) \binom{\lceil r\rceil }{r}}, $$które kiedy $r\in\mathbb{N}$sprowadza się do tego pytania , ale sam nie wiem, jak to wyprowadzić. Może nie rozumiem w pełni odpowiedzi, ale nie sądzę, aby te same sztuczki można było zastosować, gdy suma nie jest teleskopowa. Podsumowując, moje pytania to:
- Czy ktoś może wyjaśnić zamkniętą formę?
- Czy istnieje prosty, pojęciowy powód, dla którego suma skończona jest minusem sumy nieskończonej?
Odpowiedzi
Oto obliczenie całkowitej sumy z $n=0$ do $\infty$, co może prowadzić do obliczenia sumy skończonej. Od$$\binom xy\binom yx=\operatorname{sinc}(\pi(x-y)),$$ gdzie $\operatorname{sinc}(x)=\sin(x)/x$, mamy $$\frac{1}{\binom xy}=\binom yx\frac{\pi(x-y)}{\sin(\pi(x-y))};$$ w szczególności, $$\frac{1}{\binom nr}=\binom rn\frac{\pi(r-n)}{\sin(\pi(r-n))}=\pi(r-n)\binom rn\frac{(-1)^n}{\sin \pi r}.$$ Więc chcemy oceniać $$\frac{\pi}{\sin \pi r}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(r-n)\binom rn.$$ Rozważać $$f(x)=(1+x)^r=\sum_{n=0}^\infty \binom rnx^n.$$ Mamy $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\sum_{n=0}^\infty \binom rn\frac{dx^{n-r}}{x}=\sum_{n=0}^\infty \binom rn(n-r)x^{n-r-1};$$ również, $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\frac{d}{dx}\left(\frac{1+x}{x}\right)^r=-\frac{r\left(\frac{1+x}{x}\right)^{r-1}}{x^2},$$ i tak mamy tożsamość $$\sum_{n=0}^\infty \binom rn(-1)^n(r-n)\binom rn=(-1)^{r+1}\frac{d}{dx}\left(x^{-r}f(x)\right)\bigg|_{x=-1}=0$$ kiedy tylko $r>1$.