Komutator AB - BA = Z

Question

Określ wszystkie liczby rzeczywiste $x$ dla których istnieje $3\times3$ prawdziwe matryce $A$ i $B$ takie że \begin{align*} AB -BA = \begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& -1\\ \end{pmatrix} \end{align*} Rozwiązanie:

Pomysł: kwadratowa macierz $Z$ nazywa się „komutatorem”, kiedy $Z=XY-YX$ dla niektórych macierzy $X$ i $Y$. Następnie ślad ($Z$) $= \sum z_{ii}=0$ ponieważ ślad ($XY$)$=$ślad$(YX)$ dla wszystkich macierzy $X$ i $Y$ oboje, których produkt $XY$ i $YX$są kwadratowe. W tym problemie macierz$\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& -1\\\end{pmatrix}$zachowywać się jak komutator. Więc znajdź ślad dla obu stron.\begin{align*} \text{tr}(AB -BA) &= \text{tr}\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& -1\\ \end{pmatrix}\\ \text{tr}(AB) - \text{tr}(BA) &= x\\ \end{align*} Wiemy, że istnieją matryce $A$ i $B$ takie, że tr ($AB$) $=$ tr ($BA$). Więc możemy powiedzieć, że jeśli$x=0$ następnie tr$(AB) =$ tr$(BA)$, powyższe stwierdzenie jest aktualne. Jeśli$x\neq 0$ następnie tr$(AB)$$\ neq $ tr $ (BA) $ , powyższa instrukcja nie obowiązuje

Jeśli $ x = 0 $ istnieje $ 3 \ times3 $ rzeczywiste macierze $ A $ i $ B $ takie, że tr $ (AB) = $ tr $ (BA) $
Jeśli $ x \ neq0 $ nie istnieje $ 3 \ times3 $ rzeczywiste macierze $ A $ i $ B $ takie, że tr $ (AB) = $ tr $ (BA) $

Oto moja odpowiedź na ten problem. Ale mój profesor powiedział, że nie udowodniłem, że istnieją macierze $ A, B $, które spełniają równanie w zadaniu. Jak udowodnimy istnienie tych macierzy?

Answer 1

Możesz pokazać dwie macierze $A$ i $B$ które spełniają podane równanie, kiedy $x=0$. Możesz spróbować rozwiązać mniejszy problem$$ XY-YX=Z:=\pmatrix{1&0\\ 0&-1}\tag{1} $$pierwszy. Następnie powiększ$X$ i $Y$ do dwóch $3\times3$ matryce $A$ i $B$ wstawiając wiersz zerowy i kolumnę zerową w środku każdego z nich $X$ i $Y$.

Rozwiązać $(1)$, możesz wybrać $X$ losowo (w tym konkretnym przypadku $Z$ w $(1)$, Nie odebrać przekątnej macierzy; czy wiesz dlaczego?) i rozwiązać$Y$. Od$Y$ma cztery wpisy, masz układ czterech równań liniowych z czterema niewiadomymi. Zwykle można to rozwiązać, chyba że wybór$X$jest bardzo zły. Jeden bardzo dobry wybór dla naszego obecnego problemu$(1)$ jest $X=\pmatrix{0&1\\ 1&0}$.

Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o równaniu $XY-YX=Z$, zobacz artykuł Kahana Only Commutators Have Trace Zero .