$\mathbb R$ z topologią wygenerowaną przez $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ jest pseudokompaktowy

Question

Próbuję rozwiązać następujące pytanie z zestawów problemów przygotowawczych UChicago GRE :

Wyposażyć $\mathbb R$ z odpowiednią topologią, wygenerowaną przez $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ i nazwij tę przestrzeń $X$. Które z poniższych stwierdzeń jest fałszywe?

(...)

(MI) $X$ jest pseudokompaktowa (każda funkcja ciągła $f: X \to \mathbb R$ jest ograniczona)

Według klucza odpowiedzi (E) nie jest fałszywe. Nie słyszałem wcześniej o określeniu pseudozwiązanie, ale próbuję wyciągnąć pewne rzeczy z definicji. Jeśli dobrze rozumiem, topologia$\mathcal O_\tau$ generowane przez podstawę $\tau$ jest $\tau \cup (-\infty, +\infty) \cup \emptyset$. Podstawową właściwością funkcji ciągłych jest to, że obraz wstępny każdego otwartego zbioru jest otwarty. Używając tylko tego, jak to pokażemy$f: X \to \mathbb R$ jest ograniczona?

Answer 1

Wskazówka :$X$ma jeszcze silniejszą właściwość: każda ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych (w rzeczywistości każda funkcja ciągła z wartościami w przestrzeni Hausdorffa) jest stała. Wynika to z faktu, że istnieją co dwa niepuste otwarte podzbiory$X$ krzyżować.

Answer 2

Przypuszczać $f:X \to \Bbb R$ jest ciągła i przypuszczam $f$nie były stałe. Oznacza to, że są$x_1 \neq x_2 \in X$ z $f(x_1) \neq f(x_2)$. Załóżmy (WLOG), że$f(x_1) < f(x_2)$ następnie znajdź $c\in \Bbb R$ z $f(x_1) < c < f(x_2)$. Następnie$x_1 \in O_1 = f^{-1}[(-\infty,c)]$ jest otwarty i $x_2 \in O_2 = f^{-1}[(c, \infty)]$ jest również otwarty (zarówno przez ciągłość $f$) i $O_1$ i $O_2$ są zatem niepuste, otwarte i rozłączne $X$. To jednak nigdy się nie zdarza, gdy takie się pojawiają$X$ z definicji zawsze mają formę $(a, +\infty)$ i dowolne dwa z nich przecinają się (każdy punkt większy niż maksimum ich punktów granicznych znajduje się na przecięciu).

Więc każdy ciągły wartości rzeczywistej $f$ na $X$ jest więc stała (więc z pewnością ograniczona) $X$ jest pseudokompaktowy.