Ocenianie $\int_0^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}\,dx$
Świetnie się bawiłem w tej odpowiedzi, w której ćwiczyłem$$\int_0^\infty\frac1{\sqrt{x^4+x^3+x^2+x+1}}\,dx=\frac4{\sqrt{4\varphi+3}}F\left(\frac{3\pi}{10},m=8\varphi-12\right)$$ Ale co się stanie, jeśli największy wykładnik w mianowniku wielomianu nie jest $4$ale inna liczba całkowita? Innymi słowy, czy istnieje ogólna forma zamknięta lub wyrażenie pojedynczej serii dla $$\int_0^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}\,dx\ ?$$ Dla $n=5$ odpowiedź jest jak powyżej i dla $n=4$ $$\int_0^\infty\frac1{\sqrt{x^3+x^2+x+1}}\,dx=2^{-1/4}F\left(\cos^{-1}\frac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2},\frac12+\frac1{2\sqrt2}\right)$$ Całki dla $n=1,2,3$odchodzić. Obliczanie całki dla$n\ge6$wydaje się jednak być niewykonalne nawet w przypadku serii; podczas gdy suma iloczynu gamma w odpowiedzi Jacka d'Aurizio wygląda tutaj całkiem atrakcyjnie, działa tylko w przypadku$n=5$ - tylko wtedy można wykazać, że całka nad $[0,\infty]$ jest dwa razy większa od całki $[0,1]$, w którym to momencie wprowadzasz funkcje beta. Drugi wynik w odpowiedzi Jacka to podwójna suma, którą można uogólnić na inną$n$ ale nie jest zbyt elegancki (częściowo z powodu podwójnej sumy, a częściowo dlatego, że jedna granica tej sumy wykorzystuje funkcję podłogi).
Jeśli podejście, które rozwiązuje zadanie, daje również całki dla tej samej całki, ale z innymi ograniczeniami (np $[0,1]$), byłoby to mile widziane.
Odpowiedzi
Zaproponuję „wyrażenie pojedynczej serii”; miejmy nadzieję, że ktoś o orlich oczach dostrzeże, co to jest w kategoriach hipergeometrycznych, osiągając w ten sposób zamkniętą formę.
Dla $x\in[0,\,1]$, zastosować $x=\sin^{2/n}t$; dla$x\ge1$, zastosować $x=\csc^{2/n}t$. Jeśli chodzi o spadające symbole Pochhammera, całka jest$$\begin{align}&\frac2n\int_0^{\pi/2}(\sin^{2/n-1}t+\sin^{-3/n}t)\sqrt{1-\sin^{2/n}t}dt\\&=\frac2n\sum_{k\ge0}\frac{(\tfrac12)_k(-1)^k}{k!}\int_0^{\pi/2}(\sin^{2(k+1)/n-1}t+\sin^{2(k-3/2)/n}t)dt\\&=\frac1n\sum_{k\ge0}\frac{(\tfrac12)_k(-1)^k}{k!}(\operatorname{B}(\tfrac{k+1}{n},\,\tfrac12)+\operatorname{B}(\tfrac{k-3/2}{n}+\tfrac12,\,\tfrac12))\\&=\frac{\sqrt{\pi}}{n}\sum_{k\ge0}\frac{(\tfrac12)_k(-1)^k}{k!}\left(\tfrac{\Gamma\left(\tfrac{k+1}{n}\right)}{\Gamma\left(\tfrac{k+1}{n}+\tfrac12\right)}+\tfrac{\Gamma\left(\tfrac{k-3/2}{n}+\tfrac12\right)}{\Gamma\left(\tfrac{k-3/2}{n}+1\right)}\right).\end{align}$$
Pozwolić $n\ge5$. $$J_n=\int_0^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx=\int_0^1\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx+\int_1^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx.$$ Następnie zrób $x\mapsto 1/x$ w drugiej całce i dodaj je do siebie: $$J_n=\int_0^1\left(1+x^{(n-5)/2}\right)\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx.$$ Za pomocą $$(1-q)^{-\alpha}=\,_1F_0(\alpha;;q),$$ mamy $$\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}=\sum_{k\ge0}\beta_k^{(n)}x^k,$$ gdzie $$\beta_k^{(n)}=\sum_{r=0}^{k}[n|r]\frac{(\tfrac12)_{r/n}(-\tfrac12)_{k-r}}{(r/n)!(k-r)!},$$ z $[a|b]$ będąc wspornikiem Iverson dla $b/a\in\Bbb Z$: $$[a|b]=\left\lfloor \exp\left(a\left\lfloor \frac{b}{a}\right\rfloor-b\right)\right\rfloor.$$ A zatem $$J_n=\sum_{k\ge0}\beta_k^{(n)}\int_0^1(1+x^{(n-5)/2})x^kdx=\sum_{k\ge0}\beta_k^{(n)}\left(\frac1{k+1}+\frac{2}{2k+n-3}\right).$$ Mamy to dodatkowo $$\beta_k^{(n)}=\sum_{r=0}^{\lfloor k/n \rfloor}\frac{(\tfrac12)_{r}(-\tfrac12)_{k-nr}}{r!(k-nr)!}.$$ Wątpię, czy istnieje ogólna forma zamknięta.