Ocenianie $\int \ln(2x+3) \mathrm{d}x$

Question

Oceniać $$\int \ln(2x+3)\mathrm{d}x$$

Zestaw $r = 2x+3 \rightarrow \mathrm{d}r = 2\mathrm{d}x$

Tak staje się całka $\displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r$

Zestaw $u=\ln(r)$, $\mathrm{d}v=\mathrm{d}r$, więc $\mathrm{d}u = \frac{1}{r}\mathrm{d}r$ i $v=r$

$\implies \displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\int u\, \mathrm{d}v=\frac{1}{2}(uv-\int v\, \mathrm{d}u) = \frac{1}{2}\left(\ln(r)r-\int \mathrm{d}r\right) = \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\left(x+\frac{3}{2}\right)+C$

Ale prawidłowa odpowiedź brzmi $\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C$

Czy ktoś może mi pokazać, gdzie jest mój błąd, a także lepszy sposób rozwiązania problemu? Dzięki!

Answer 1

Nie ma pomyłki. $C$ jest dowolną stałą i $-\frac 3 2+C$ jest po prostu kolejną stałą $C'$. Nie ma lepszego sposobu na odpowiedź na to pytanie.

Answer 2

Alternatywna metoda

Rozważać, $$\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}=\ln(2x+3)+\frac{2x}{2x+3}$$ Przemieszczać się, $$\ln(2x+3)=\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}-\frac{2x}{2x+3}$$ Tak więc integrując obie strony, możesz uzyskać odpowiedź

Answer 3

Twoje rozwiązanie jest poprawne, ponieważ stała plus inna stała może być reprezentowana przez inną stałą, więc $-\frac{3}{2}+C=C_1$.

Alternatywnie możesz zintegrować przez części i pozwolić $u=\ln(2x+3)$ i $dv=dx$. Następnie$du=\frac{2}{2x+3}$ i możemy wziąć $v=x+\frac{3}{2}$. Wynika, że\begin{align}\int \ln(2x+3)\,dx&=\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \left(x+\frac{3}{2}\right)\frac{2}{2x+3}\,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C, \end{align} zgodnie z oczekiwaniami!