ODE w zmiennej $r$

Question

Jestem pewien, że to proste pytanie, ale będę potrzebować pomocy.

Próbując rozwiązać PDE za pomocą separacji zmiennych, natrafiłem na ODE.

Chcę rozwiązać następujący ODE: $$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$

Rozwiązaniem jest $A\cos(\lambda r)/r +B\sin(\lambda r)/2\lambda r$

Sprawdza się, kiedy go podłączasz, ale jak właściwie otrzymujemy rozwiązanie?

Answer 1

$$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$ $$r{R''(r)+{2}R'(r)}=-rR(r)\lambda^2$$ Przepisz to jako: $$(rR(r))''=-rR(r)\lambda^2$$ $$(rR(r))''+rR(r)\lambda^2=0$$ Teraz po prostu rozwiąż to jako: $$y''+\lambda^2y=0$$ Gdzie $y=rR(r)$. To po prostu liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu, które jest łatwe do rozwiązania.