Ogólna forma centralizatora

Question

Jeśli powiemy $B = J_{a_1}(\lambda_1) \oplus J_{a_2}(\lambda_2) ... \oplus J_{a_n}(\lambda_n)$ Próbuję znaleźć ogólną formę centralizatora $B$. Po pierwsze, kiedy nasze lambdy są różne, ale także wtedy, gdy nie są i jaki jest wymiar w każdym z przypadków.

Więc wiem, że B powinno być $\sum a_i \times \sum a_i $ macierz z wpisami $\lambda_i$ na przekątnych, ale wtedy nie jestem pewien, jak znaleźć centralizator dla każdego przypadku?

Nie bardzo wiem, od czego zacząć i czy ktoś mógłby wskazać mi dobry kierunek, to byłoby to docenione.

Answer 1

Będę używać języka modułów.

Wybór operatora liniowego $A$ w przestrzeni wektorowej $V$ jest równoznaczne z robieniem $V$ za $\mathbb{C}[T]$-moduł, gdzie $T$ działa przez operatora $A$. Od$\mathbb{C}[T]$ jest PIDem, podstawowe twierdzenie o modułach generowanych skończenie na PIDach ma zastosowanie, więc możemy powiedzieć $V$ jest izomorficzny jako a $\mathbb{C}[T]$-moduł do bezpośredniej sumy cyklicznych podmodułów, a moduły cykliczne (według chińskiego twierdzenia o resztach) to WLOG postaci $\mathbb{C}[T]/(T-\lambda)^d$. Jeśli napiszemy macierz mnożenia przez-$T$ na takim module w odniesieniu do podstawy mocy $\{1,T,\cdots,T^{d-1}\}$ otrzymujemy $d\times d$ Blok Jordana powiązany z uogólnioną wartością własną $\lambda$. Składnik zawierający wszystkie bezpośrednie sumy (lub równoważnie wszystkie cykliczne podmoduły) o danej wartości$\lambda$ tworzy uogólnioną przestrzeń własną $V$ powiązany z $\lambda$.

Centralizator $A$ odpowiada znalezieniu endomorfizmów $V$ jak $\mathbb{C}[T]$-moduł.

Zauważ, że $\hom$ jest dystrybucyjny, dowolny element $\hom(\bigoplus V_i,\bigoplus V_j)$ można zapisać jako macierz, której $ij$-entry to homomorfizm $V_i\to V_j$. Tak więc, aby znaleźć endomorfizmy modułu$V$, musimy po prostu określić wszystkie możliwe homomorfizmy modułów $\mathbb{C}[T]/(T-\lambda)^d\to \mathbb{C}[T]/(T-\mu)^k$. Taka mapa jest$T$-equivariant, a jego zakres to cykliczny podmoduł generowany przez obraz $1$. Jedynym warunkiem jest to$1$ musi zostać wysłany do elementu unicestwionego przez $(T-\lambda)^d$. Zarówno$k\le d$ lub to znaczy $1$ jest wysyłany do czegoś w cyklicznym module podrzędnym $(T-\lambda)^{k-d}$ który ma wymiar $d$ w ciągu $(T-\lambda)^k$. Zatem przestrzeń wektorowa homomorfizmów modułów jest$\min\{d,k\}$ gdyby $\lambda=\mu$, jeszcze $0$.

Więc jeśli Jordan blokuje skojarzony z $\lambda$ mają rozmiary $d_1\ge d_2\ge\cdots\ge d_n$ wtedy wymiar algebry / centralizatora endomorfizmu jest $\sum_{i,j}\min\{d_i,d_j\}$ czyli suma terminów w tablicy

$$ \begin{array}{cccc} d_1 & d_2 & \cdots & d_n \\ d_2 & d_2 & \cdots & d_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_n & d_n & \cdots & d_n \end{array} $$

co jest równe $\sum_{j=1}^n (2j-1)d_j$.

Ogólnie rzecz biorąc, bierzemy tę sumę dla każdej uogólnionej wartości własnej $\lambda$ i połącz.

Aby opisać algebrę centralizatora / endomorfizmu jako algebrę, najpierw rozłóż ją na bezpośrednią sumę podalgebr powiązanych z każdą $\lambda$, a następnie zapisz elementy tych podalgebr jako macierze, których wpisy są elementami modułów ilorazowych $(T-\lambda)^{k-d}/(T-\lambda)^k$ (interpretacja $k-d$ tak jak $0$ gdyby $k\le d$) dla różnych opcji $d$ i $k$.

Oto przykład. Rozważmy macierz z rozkładem Jordana

$$ \color{Red}{J_1(0)\oplus J_1(0)\oplus J_2(0)}\oplus \color{Green}{J_3(i)\oplus J_4(i)} \oplus \color{Blue}{J_5(\omega)} $$

• Powiązany z $\color{Red}{\lambda=0}$ jest $2\ge1\ge1$ z sumą $\sum_{j=1}^3 (2j-1)d_j=(1)2+(3)1+(5)1=\color{Red}{10}$.
• Powiązany z $\color{Green}{\lambda=i}$ jest $4\ge3$ z sumą $\sum_{j=1}^2(2j-1)d_j= (1)4+(3)3=\color{Green}{13}$.
• Powiązany z $\color{Blue}{\lambda=\omega}$ jest $5$ z sumą $\sum_{j=1}^1 (2j-1)d_j=(1)5=\color{Blue}{5}$.

Zatem pełny centralizator ma wymiar $\color{Red}{10}+\color{Green}{13}+\color{Blue}{5}=28$.

Answer 2

Wynik pod względem macierzy jest dobrze znany badaczom. Widziałem to również udokumentowane w podręczniku licencjackim, ale nie pamiętam tytułu książki.

Przypuszczać $B$ jest bezpośrednią sumą $r$ Formy Jordan $J_1,J_2,\ldots, J_r$, każdy z inną wartością własną i przypuśćmy, że każda postać Jordana $J_k$ ma $b_k$ Jordan blokuje wartość własną $\lambda_k$ wielokrotności $m_{k1}\ge m_{k2}\ge\cdots\ge m_{kb_k}$odpowiednio. To znaczy przypuśćmy$$ B=\bigoplus_{k=1}^rJ_k=\bigoplus_{k=1}^r\underbrace{\left(J(\lambda_k;m_{k1})\oplus\cdots\oplus J(\lambda_k;m_{kb_k})\right)}_{J_k}\tag{1} $$ gdzie $J(\lambda;m)$ oznacza górny trójkątny blok Jordana o wartości własnej $\lambda$ wielości $m$.

Na przykład w $9\times9$ Forma Jordana $B$ poniżej mamy $J_1=J(1;3)\oplus J(1;2)$ i $J_2=J(0;2)\oplus J(0;1)\oplus J(0;1)$. $$ B=\left[\begin{array}{ccc|cc|cc|c|c} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\\ \hline &&&1&1\\ &&&0&1\\ \hline &&&&&0&1\\ &&&&&0&0\\ \hline &&&&&&&0\\ \hline &&&&&&&&0 \end{array}\right]. $$ Równanie $BA=AB$ w ten sposób redukuje blokowo do równań postaci $$ J(\lambda;m)X=XJ(\mu;n) $$ na $m\times n$ matryca $X$. Zakładać, że$m\ge n$ (walizka $n\le m$można traktować podobnie). Odejmując obie strony przez$\mu I$, mamy $J(\lambda-\mu;m)X=XJ(0;n)$. Gdy$\lambda\ne\mu$, mamy $J(\lambda-\mu;m)^nX=XJ(0;n)^n=0$ i stąd $X$musi wynosić zero. Gdy$\lambda=\mu$, mamy $J(0;m)X=XJ(0;n)$. W szczególności otrzymujemy dwie równości:\begin{align} x_{i+1,j+1}=e_i^TJ(0;m)Xe_{j+1}&=e_i^TXJ(0;n)e_{j+1}=x_{ij},\\ J(0;m)Xe_1&=XJ(0;n)e_1=0.\\ \end{align} Pierwsza to oznacza $X$ to Toeplitz, podczas gdy druga oznacza, że ​​przesunięcie w górę pierwszej kolumny $X$wynosi zero. Wynika z tego, że wszystkie wpisy poniżej głównej przekątnej$X$ są równe zero, tj $X$to górna trójkątna matryca Toeplitza. I odwrotnie, można zweryfikować, że każda górna trójkątna macierz Toeplitza$X$ spełnia równanie $J(0;m)X=XJ(0;n)$.

Dlatego rozwiązania $BA=AB$ ma ogólną formę $\bigoplus_{k=1}^rM_k$, gdzie każdy $M_k$ ma taki sam rozmiar jak $J_k$, a gdy jest podzielony na partycje w taki sam sposób, jak $J_k$ (tak, że przekątne podbloki $M_k$ ma rozmiary $m_{k1},\ldots,m_{kb_k}$ odpowiednio), jego $(i,j)$-ty podblok to górna trójkątna macierz Toeplitza w postaci $$ M_{kij}=\begin{cases} \pmatrix{T_{kij}\\ 0}&\text{when } m_{ki}>m_{kj},\\ T_{kij}&\text{when } m_{ki}=m_{kj},\\ \pmatrix{0&T_{kij}}&\text{when } m_{ki}<m_{kj},\\ \end{cases}\tag{2} $$ gdzie $T_{kij}$ oznacza górną trójkątną macierz kwadratową Toeplitza o rozmiarze $\min(m_{ki},m_{kj})$.

Na przykład centralizatory naszego poprzedniego $9\times9$ przykład ma następującą ogólną postać: $$ A=\left[\begin{array}{ccc|cc|cc|c|c} a&b&c&d&e\\ 0&a&b&0&d\\ 0&0&a&0&0\\ \hline 0&f&g&h&l\\ 0&0&f&0&h\\ \hline &&&&&p&q&s&t\\ &&&&&0&p&0&0\\ \hline &&&&&0&u&v&w\\ \hline &&&&&0&x&y&z\\ \end{array}\right]. $$ Z $(1)$ i $(2)$, wymiar podprzestrzeni centralizatora jest określony przez $$ \sum_{k=1}^r\sum_{i,j=1}^{b_k} \min (m_{ki}, m_{kj}) =\sum_{k=1}^r\sum_{i=1}^{b_k}(2i-1)m_{ki}, $$ co jest równe $(1\times3+3\times2)+(1\times2+3\times1+5\times1)=19$ w powyższym przykładzie.