Para L-tromino!

Question

Amy bawi się różnymi poliomino. Nagle myśli o problemie w następujący sposób.

Wybierz dwie dodatnie liczby całkowite $m,n$. Jeśli możemy użyć tylko L-trominos do mozaikowania a$m\times n$ prostokąt bez przerw, zakładek lub kwadratów wystających z prostokątów, wtedy nazywamy tę parę $(m,n)$ Para L-tromino.

Nazywa swojego brata Benem i dżina i próbuje rozgryźć wszystkie pary L-tromino. Dżin jest super mądry i znalazł dla nich dowód. Czy możesz?

---

Problem sam.

---

Oto zdjęcie L-tromino, jeśli chcesz je zobaczyć:

Answer 1

Oczywiście oba wymiary prostokąta wyłożonego kafelkami muszą wynosić co najmniej $2$. Również, ponieważ obszar tromina jest$3$, obszar prostokąta do kafelków jest wielokrotnością $3$, a zatem co najmniej jeden z wymiarów jest wielokrotnością 3.

Najpierw kilka łatwych przypadków:

$3k\times2n$: Dwa tromino tworzą a $3\times2$prostokąt. Dlatego każdy$3k\times2n$ prostokąt jest trywialnie kafelkowy.

$6k\times(2n+3)$: Ten prostokąt dzieli się na $6k\times3$ i a $6k\times2n$ prostokąt, z których oba są przykładami powyższego, trywialnie kafelkowego przypadku.

Najtrudniejszy przypadek jest taki:

Powyższe przypadki dotyczą wszystkich prostokątów, w których jeden z wymiarów jest parzysty. Więc teraz pozostają tylko te o dziwnych wymiarach.

$9\times5$: Ten prostokąt można podzielić na sąsiadująco:

$(6k+9) \times (2n+5)$: Dowolny prostokąt o nieparzystych wymiarach, jeden wymiar będący wielokrotnością 3 i nie mniejszy niż $9\times5$, można układać kafelkami. Możesz odciąć prostokąt wielkości$6k\times(2n+5)$ który został już pokazany jako kafelkowy, aby zredukować go do $9\times(2n+5)$. Następnie możesz wyciąć prostokątny prostokąt o rozmiarze$9\times2n$, pozostawiając kafelek $9\times5$.

Teraz pozostaje to tylko pokazać$3\times(2n+1)$nie można kafelkować. Jest to dość oczywiste, gdy spróbujesz. Jedyne sposoby wypełnienia krótkiej krawędzi prostokąta spowodują utworzenie pliku$3\times2$blok. Dlatego prostokąt nieuchronnie zostaje zredukowany do niemożliwego do odtworzenia$3\times1$kształt.

Podsumowując, pary L-tromino są$(m,n)$ gdzie $m,n\ge2$, co najmniej jeden z $m$ lub $n$ jest podzielna przez 3, a jeśli obie są nieparzyste, to $m,n\ge5$.