Poprawa twierdzenia Sobczyka

Question

Twierdzenie Sobczyka stwierdza, że ​​jeśli jest to rozdzielna przestrzeń Banacha $X$ zawiera podprzestrzeń izometryczny do $c_{0}$, następnie $X$ zawiera podprzestrzeń $Z$ który jest izometryczny do $c_{0}$ i jest $2$-zakończone w $X$. Od każdej projekcji z$c$ do swojej podprzestrzeni $c_{0}$ma normę co najmniej dwa, stała projekcji w twierdzeniu Sobczyka w zasadzie nie może być poprawiona. W 1999 roku PN Dowling, N. Randrianantoanina i B. Turett ( Remarks on James's distortion theorems II, Bull. Austral. Math. Soc. 59 (1999), 515-522 ) udowodnili następujące twierdzenie:

Twierdzenie: niech$X$ być przestrzenią Banacha, tak aby piłka jednostkowa $B_{X^{*}}$jest słaby * - konsekwentnie zwarty. Gdyby$X$ zawiera podprzestrzeń izomorficzną do $c_{0}$, więc dla każdego $\epsilon>0$istnieje podprzestrzeń $Z$ z $X$ i projekcja $P$ z $X$ na $Z$ takie że $Z$ jest $(1+\epsilon)$-izomorficzny do $c_{0}$ i $\|P\|\leq 1+\epsilon$.

Wynik podobny do tego twierdzenia udowodnili S. Diaz i A. Fernandez (S. Diaz i A. Fernandez, Reflexivity in Banach lattices, Arch Math. 63 (1994), 549-552 ) w układzie przestrzeni Banacha niezawierających izomorficzna kopia pliku$l_{1}$. PN Dowling, N. Randrianantoanina i B. Turett postawili następujące naturalne pytanie:

Pytanie: Jeśli przestrzeń Banacha$X$ zawiera uzupełnioną kopię $c_{0}$, więc dla każdego $\epsilon>0$, czy istnieje podprzestrzeń $Z$ z $X$ i projekcja $P$ z $X$ na $Z$ takie że $Z$ jest $(1+\epsilon)$-izomorficzny do $c_{0}$ i $\|P\|\leq 1+\epsilon$?

Nie wiem, czy to pytanie zostało rozwiązane, czy też są jakieś wyniki dotyczące tego pytania.

Dziękuję Ci!

Answer 1

Narcisse i ja podaliśmy kontrprzykład

Johnson, William B. (1-TXAM); Randrianantoanina, Narcisse (1-MMOH) O uzupełnionych wersjach twierdzeń Jamesa o zniekształceniach. (Streszczenie w języku angielskim) Proc. Amer. Matematyka. Soc. 135 (2007), nr. 9, 2751–2757.

Mogłeś to odkryć po prostu sprawdzając w MathSciNet recenzje artykułów, które odwoływały się do artykułu [DRT].