Problem teorii liczb modularnych

Question

Pozwolić $k\in\mathbb{N}, 2<p\in\mathbb{P}, p^{\alpha}\mid\mid n,\alpha\ge1$. Następnie udowodnij to$$1^k+2^k+\ldots+n^k\equiv\begin{cases}\hfill 0\pmod{p^{\alpha}},& p-1\nmid k\\-\frac{n}{p}\pmod{p^{\alpha}},& p-1\mid k\end{cases}$$

Po pierwsze, udowodniłem $n=p$. Jeśli$p-1\mid k$, to można łatwo udowodnić małym twierdzeniem Fermata. Pozwolić$p-1\nmid k$. Od$p$ jest liczbą pierwszą, ma prymitywny korzeń $g$ i to spełnia $\{1,g,g^2,\ldots,g^{p-2}\}=\{1,2,3,\ldots,p-1\}$. Więc wystarczy to udowodnić$1+g^k+g^{2k}+\ldots+g^{(p-2)k}\equiv 0\pmod p\iff p\mid\frac{g^{(p-1)k}-1}{g^k-1}\iff p\cdot (g^k-1)\mid g^{(p-1)k}-1$. Od$(p, g^k-1)\neq1\iff p-1\nmid k$ i $p\mid g^{(p-1)k}-1,g^k-1\mid g^{(p-1)k}-1$, to prawda.

I nie mogę tego kontynuować przez $n=p^{\alpha}$ (dla $p-1\nmid k$, jest podobny do $n=p$. Ale nie mogę tego udowodnić$p-1\mid k$), $n=p^{\alpha}\cdot n_1$, gdzie $n_1>1, (n_1,p)=1$i tak dalej. Czy ktoś może mi pomóc?

Answer 1

Nietrudno sprawdzić, czy wystarczy to pokazać $n=p^{\alpha}$.

Pokażemy to przez indukcję $\alpha$.

Jeśli $\alpha=1$wtedy to działa. Załóżmy, że wynik zachowuje ważność$\alpha-1$.

Następnie mod $p^{\alpha}$, $\sum_{m=0}^{p^{\alpha}-1}{m^k} = \sum_{m=0}^{p^{\alpha-1}-1}{\sum_{l=0}^{p-1}{(m+p^{\alpha-1}l)^k}} = \sum_{m=0}^{p^{\alpha-1}-1}{\sum_{l=0}^{p-1}{m^k+kp^{\alpha-1}l}}=p\sum_{k=0}^{p^{\alpha-1}-1}{m^k}+kp^{\alpha-1}\sum_{l=0}^{p-1}{l} = p\sum_{k=0}^{p^{\alpha-1}-1}{m^k} = -p \cdot p^{\alpha-1}/p = -p^{\alpha}/p$.

Answer 2

Wyświetlanie wszystkiego jako elementów $\Bbb{Z}/p^a\Bbb{Z}$,

• Jeśli $p-1\nmid k$ następnie weź $p\nmid s, s^k \ne 1\bmod p$ $$\sum_{m\bmod p^a} m^k =\sum_{m\bmod p^a} (sm)^k=s^k\sum_{m\bmod p^a} m^k$$ co oznacza że $\sum_{m\bmod p^a} m^k=0$.

• Jeśli $p-1|k$ następnie weź największy $b$ takie że $(p-1)p^b | k$, od $m\to m^k$ , ograniczony do jednostek, jest nadrzędny wobec podgrupy elementów formy $1+p^{b+1}l$ rozumiemy $$\sum_{m\bmod p^a} m^k=\sum_{m\bmod p^a,p\ \nmid\ m} m^k+\sum_{m\bmod p^{a-1}} (pm)^k\\=(p-1)\sum_{l\bmod p^{a-1}} (1+p^{b+1} l)+p^k \sum_{m\bmod p^{a-1}} m^k$$ $$ = -p^{a-1}+p^k \sum_{m\bmod p^{a-1}} m^k$$ $$ = -p^{a-1}-p^k p^{a-2}-p^{2k} p^{a-3}-\ldots- p^{(a-1)k} p^{a-a}$$ $$ = -p^{a-1}$$