Problem z kolektorami Tu 20.10

Question

Próbuję obliczyć pochodną Liego $\mathcal{L}_X\omega$ formularza 2 $$\omega:= xdy\wedge dz + (z-y)dx\wedge dy$$ na tle pola wektorowego $$X:=-y \frac{\partial}{\partial x} + x \frac{\partial}{\partial y}$$ na sferze 2 $S^2 \subset \mathbb{R}^3$. Wierzę, że przepływ$F$ z $X$ jest dany przez $$F\left(t, \left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right]\right) = \left[\begin{matrix} \cos(t) & -\sin(t) & 0\\ \sin(t) & \cos(t) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right].$$ Za pomocą $\mathcal{L}_X \omega := \frac{d}{dt}|_{t=0} F^*\omega$, Dostaję $$\mathcal{L}_X \omega = xdx\wedge dz - ydy\wedge dz - xdx\wedge dy$$ od $F^*\omega = \sum_i F^*(a_i)d(F^*x_{i_1})\wedge d(F^*x_{i_2})$. Jeśli chodzi o formułę homotopii Cartana, rozumiem

$d\omega = 2dx\wedge dy \wedge dz, \hspace{1cm}\text{ and }\\ \iota_X \omega = x^2 dz + (z-y)(-ydy-xdx)$

po to aby

$d \iota_X\omega = 2xdx\wedge dz - y dz\wedge dy - xdz\wedge dx + x dy\wedge dx \\ \hspace{1cm} = 3xdx\wedge dz - ydz\wedge dy + x dy\wedge dx$

i

$\iota_X(d\omega) =d\omega(X,-,-)\\ \hspace{1.3cm} = 2dx\wedge dy \wedge dz\left(\begin{matrix} -y & - & - \\ x & - & - \\ 0 & - & - \end{matrix}\right)\\ \hspace{1.3cm} = 2(-ydy\wedge dz - x dx\wedge dz) \\ \hspace{1.3cm} = -2y dy\wedge dz - 2x dx\wedge dz.$

To daje $\mathcal{L}_X\omega = d \iota_X\omega + \iota_X(d\omega)\\ = (3xdx\wedge dz - ydz\wedge dy + x dy\wedge dx) - (2y dy\wedge dz + 2x dx\wedge dz)\\ = x dx \wedge dz - y dy\wedge dz -x dx\wedge dy.$

To teraz zgadza się z tym, z czego otrzymałem $\frac{d}{dt}|_{t=0}F_t^* \omega$, chociaż moje pytanie brzmi: jak ograniczyć to do $S^2$? Na przykład w górnej półkuli$U_{z>0}$ z $S^2$, mamy współrzędne $(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2})$ po to aby $d(i^*z) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}dx - \frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}dy$ daje

$i^*(\mathcal{L}_X\omega):= xdx\wedge d(i^*z) - ydy\wedge d(i^*z) - xdx\wedge dy\\ = (\frac{2xy}{\sqrt{1-x^2-y^2}} - x)dx\wedge dy \\ = \frac{-2xy - x\sqrt{1-x^2-y^2}}{\sqrt{1-x^2-y^2}} dx\wedge dy.$

Czy to jest poprawne? Przypuszczam, że można by też użyć współrzędnych sferycznych, zamiast martwić się o wykresy.

Answer 1

Oto, co otrzymałem, chociaż nie ma 100% pewności, że uzyskałem prawidłowe wyniki. Powinieneś sprawdzić swoje obliczenia i moje ponownie i porównać je.

Więc $$L_X \omega = d i_X \omega + i_X d \omega.$$

Najpierw obliczamy $$i_X \omega = \omega(X, \cdot) = x \cdot \begin{vmatrix} x & 0 \\ dy & dz \end{vmatrix} + (z-y)\cdot\begin{vmatrix} 0 & x \\ dz & dy \end{vmatrix} = x^2 dz - (z-y)xdz = x(x+y-z)dz,$$i $d i_X \omega = (2x+y-z)dx \wedge dz + x dy \wedge dz.$

Od $\omega$ jest dwiema postaciami na kuli $S^2$, jego różnica wynosi zero, więc $i_X d \omega$termin znika. Zauważ, że tak jak zostało napisane,$\omega$ jest formularzem $\mathbb{R}^3$, więc w tych obliczeniach, kiedy piszemy $\omega$, mamy na myśli $i_{S^2}^* \omega$, gdzie $i_{S^2}$ to włączenie $S^2 \hookrightarrow \mathbb{R}^3$. Ale ponieważ wycofanie dojeżdża do pracy z pochodnymi wewnętrznymi i zewnętrznymi, możemy wykonać obliczenia w$\mathbb{R}^3$ a potem cofnij wszystko.