Przykład funkcji z ciekawą właściwością
Oznacz przez $L^1(0,1)$ przestrzeń funkcji całkowalnych Lebesgue'a na przedziale $(0,1)$.
$\textbf{Question:}$ Czy istnieje funkcja $F:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ takie, że:
- $\frac{F(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
- $\frac{F'(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
- $\frac{F(x)}{x^2}\notin L^1(0,1)$?
Domyślam się, że odpowiedź jest pozytywna i chodzi o konstruowanie $F$ takie że $F$ i $F'$zachowywać się odpowiednio blisko zera. Wydaje się dość delikatne. Sprawdziłem to$F$ nie może być wielomianem ani funkcją potęgi (od tego czasu $F'\simeq \frac{F}x$, zatem warunki 2 i 3 nie mogą być spełnione jednocześnie).
Byłbym wdzięczny za wszelkie wskazówki!
Odpowiedzi
Nie ma takiej funkcji. Po pierwsze,$|F(a)-F(b)|\leqslant \int_a^b |F'(x)|dx\to 0$ kiedy $a,b\to 0$. Więc$F$ ma limit $c$ w punkcie 0. Jeśli $c\ne 0$, to 1) nie powiedzie się. Więc$\lim_{x\to 0} F(x)=0$.
Kolejny, $$|F(a)|\leqslant \int_{0}^a|F'(x)|dx\leqslant a\int_{0}^a\frac{|F'(x)|}x dx=o(a),\quad\text{when}\quad a\to 0.\quad (1)$$ Teraz $$ \int_a^b \frac{F(x)}{x^2}dx=\frac{F(a)}a-\frac{F(b)}b+\int_a^b \frac{F'(x)}xdx. \quad(2) $$ Rozważ dwa przypadki:
$F$ ma naprawiony znak w pobliżu 0. Następnie wybieramy $a,b$ blisko 0 wnioskujemy z (1) i (2), że $\int \frac{F(x)}{x^2}dx$ zbiega się na 0, ale jest to równoważne z zbieżnością $\int \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ których potrzebujemy.
$F$ ma nieskończenie wiele zer w dowolnym sąsiedztwie 0. Następnie wybieramy $(a_k,b_k)$ będące maksymalnymi interwałami włączania zbioru otwartego $\{x:F(x)\ne 0\}$ i ubieganie się (2) o $a=a_k,b=b_k$ związaliśmy $\int_0^c \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ przez $\int_0^c \frac{|F'(x)|}{x}dx$. Tutaj$c=b_1$, na przykład.