Przykład izomorfizmów algebr Liego
Szukam przykładu izomorficznej algebry Lie. 2 algebry są izomorfami, jeśli istnieje bijektywna funkcja liniowa$g_1 \rightarrow g_2$ który mapuje wszystko $X,Y \in g_1$ lubić $\phi([X,Y]) = [\phi(X),\phi(Y)]$.
Więc 2 algebry Lie, o których pomyślałem, byłyby iloczynem poprzecznym ${\rm I\!R}^3$ i algebra komutatora lewego niezmiennego Vectorfielda, ale nie mogę wymyślić funkcji, która odwzorowuje je tak, jak powiedziałem wcześniej.
Odpowiedzi
Przykłady, z grubsza uporządkowane od łatwych do trudnych:
Pozwolić $\mathfrak g$być dowolną algebrą Lie. Mapa tożsamości$x \mapsto x$ jest izomorfizmem z $\mathfrak g$ Do siebie.
Pozwolić $V$, $W$ być przestrzeniami wektorowymi nad polem $k$i zdefiniuj na nich nawiasy Lie jako $[v_1, v_2] = 0$ i $[w_1,w_2]=0$ dla wszystkich $v_1,v_2 \in V$, $w_1,w_2 \in W$. Pokaż, że algebry Liego$V$ i $W$ (z tymi nawiasami) są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy $V$ i $W$mają ten sam wymiar. (To powinno być tylko sprawdzenie, czy rozumiesz izomorfizmy przestrzeni wektorowych, absolutną podstawę algebry liniowej).
Pozwolić $k$ być dowolnym polem i $\mathfrak{gl}_n(k)$ algebra Liego podana przez wszystkich $n \times n$-matryce skończone $k$, z nawiasem Lie podanym przez komutator macierzy $[A,B]:= A\cdot B-B\cdot A$ (gdzie $\cdot$jest zwykłym mnożeniem macierzy). Pozwolić$g$być odwracalnym $n\times n$-Matrix over $k$czyli element $\mathrm{GL}_n(k)$. Pokaż, że mapa$$ A \mapsto g\cdot A \cdot g^{-1}$$ jest izomorfizmem z $\mathfrak{gl}_n(k)$do siebie, czyli auto morfizm$\mathfrak{gl}_n(k)$.
Pozwolić $\mathfrak{gl}_n(k)$być jak w poprzednim przykładzie. Mapa, która wysyła każdą macierz do jej negatywnej transpozycji,$$ A \mapsto -A^T$$ jest izomorfizmem z $\mathfrak{gl}_n(k)$do siebie, czyli auto morfizm$\mathfrak{gl}_n(k)$.
Pozwolić $k$ być jakąkolwiek dziedziną, $c \in k^\times$, $\mathfrak g_1$ dwuwymiarowy $k$-przestrzeń wektorowa z podstawą $v_1, v_2$ i wspornik kłamstwa $[v_1, v_2] = v_2$. Pozwolić$\mathfrak g_2$ być kolejnym dwuwymiarowym $k$-przestrzeń wektorowa z podstawą $w_1,w_2$ i $[w_1,w_2]= c\cdot w_2$. Znajdź izomorfizm algebr Liego$\mathfrak g_1$ i $\mathfrak g_2$.
Pozwolić $\mathfrak g_1$ i $\mathfrak g_2$ być jak w poprzednim przykładzie, z tą różnicą, że teraz jest włączony nawias Lie $\mathfrak g_2$ jest dany przez $[w_1,w_2] = a w_1 + c w_2$ gdzie $c \in k^\times$ i $a \in k$. Ponownie znajdź izomorfizm$\mathfrak g_1 \simeq \mathfrak g_2$. (Dla tego i poprzedniego przykładu, por. Klasyfikacja algebr 1- i 2-wymiarowych, aż do izomorfizmu , Jak uzyskać wyraźny izomorfizm (wyraźnie zdefiniowany) pomiędzy dowolnymi dwoma nieabelowymi algebrami Liego wymiaru$2$, Dwuwymiarowa algebra kłamstw , dwuwymiarowa algebra kłamstw - co wiemy bez znajomości nawiasu? )
Pozwolić $k$ być dowolną dziedziną charakterystyczną $\neq 2$, $\mathfrak{sl}_2(k) := \{ A \in \mathfrak{gl}_n(k): Tr(A)=0\}$ algebra Lie bez śladów $2 \times 2$-matrices (z nawiasem Lie podanym jak w przykładzie 3). Pozwolić$\mathfrak{so}_3(k) := \{ \pmatrix{a&0&-f\\0&-a&-e\\e&f&0} : a,e,f \in k \}$ ("podzielona forma $\mathfrak{so}_3$") również z nawiasem Lie określonym przez komutator macierzy. Znajdź izomorfizm między tymi dwoma algebrami Liego. (Porównaj algebr Liego$\mathfrak{o}_3(\mathbb{C})$ i $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, Bezpośredni dowód na to$\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$, Wyraźny izomorfizm między trójwymiarową ortogonalną algebrą kłamstwa a specjalną liniową algebrą kłamstwa wymiaru$3$ i linki w nich.)
Pozwolić $\mathfrak{su}_2 := \{\pmatrix{ai&b+ci\\-b+ci&-ai} : a,b,c \in \mathbb R \}$ (trójwymiarowa rzeczywista podprzestrzeń formatu $2 \times 2$złożone macierze); przekonaj się, że znowu z nawiasem Lie podanym przez komutator macierzy (jak w przykładzie 3), jest to algebra Liego. Pokaż, że jest izomorficzny$\mathbb R^3, \times$tj. trójwymiarowa prawdziwa algebra Liego z nawiasem Lie podanym przez iloczyn poprzeczny. (Porównaj Dlaczego istnieje czynnik$2$ w izomorfizmie $\operatorname{Lie}(S^3)\cong\mathbb{R}^3$? . Wydaje się, że właśnie do tego nawiązujesz w pytaniu).
Znajdź izomorfizm między $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C) \oplus \mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ i skośno-symetryczna $4\times 4$ matryce ponad $\mathbb C$. (Por. Wyraźny izomorfizm między czterowymiarową ortogonalną algebrą Liego a bezpośrednią sumą specjalnych liniowych algebr Liego o wymiarze 3 ).
Znajdź izomorfizm między bezpośrednią sumą skośno-symetryczną $3 \times 3$ prawdziwe macierze z samym sobą i$4 \times 4$rzeczywiste macierze skośno-symetryczne. (Por. Izomorfizm pomiędzy$\mathfrak o(4,\mathbb R)$ i $\mathfrak o (3,\mathbb R) \oplus\mathfrak o (3,\mathbb R) $)
Dla $\mathfrak g$prawdziwa algebra Liego, rozszerzenie / złożoność skalarna $\mathbb C \otimes \mathfrak g$ jest złożoną algebrą Liego z nawiasem Lie określonym przez dwuliniowe rozszerzenie $[a \otimes x, b \otimes y]:=ab\otimes [x,y]$. Łatwe: Pokaż, że złożoność$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ jest izomorficzny do $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Trudniej: dla$\mathfrak{su}_2$ jak zdefiniowano w przykładzie 8, pokazują, że złożoność $\mathbb C \otimes \mathfrak{su}_2$ jest również izomorficzny do $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Bonus: Pokaż mimo to prawdziwe algebry Liego$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ i $\mathfrak{su}_2$nie są ze sobą izomorficzne. (Porównaj Precyzyjne połączenie między złożonością$\mathfrak{su}(2)$, $\mathfrak{so}(1,3)$ i $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$, Czy kompleksy algebry Liego$\mathfrak g_{\mathbb C}$ odpowiednik struktur algebry Lie na $\mathfrak g\oplus \mathfrak g$? i prawdopodobnie wiele innych).
Spróbuj także znaleźć izomorfizmy algebry Liego .