Pytanie o asymptoty.

Question

Pozwolić $f(x) = 3\cdot\frac{x^4+x^3+x^2+1}{x^2+x-2}.$ Podaj wielomian $g(x)$ po to aby $f(x) + g(x)$ ma poziomą asymptotę $0$ tak jak $x$ zbliża się do nieskończoności dodatniej.

Próbowałem użyć tego, że jeśli stopień mianownika jest większy niż stopień licznika, asymptota pozioma jest $y = 0$ale nigdzie nie mogłem dojść. Jak mam to rozwiązać?

Answer 1

Wykonaj podział licznika według euklidesa przez mianownik: $$x^4+x^3+x^2+1=(x^2+3)(x^2+x-2) -3x+7. $$ Wnioskujemy $$f(x)=3(x^2+3)+3\frac{-3x+7}{x^2+x-2}.$$ Frakcja ma tendencję do $0$ tak jak $x\to\infty$, stąd możemy wziąć $\:g(x)=-3(x^2+3)$.

Answer 2

Najlepszą odpowiedzią jest to, że po wykonaniu wielomianowego dzielenia długiego otrzymasz $f(x)=3x^2+9+\frac{-9x+21}{x^2+x-2}$. Zauważ, że trzeci termin spełnia twój wymóg poziomej asymptoty$0$, więc pozwalasz $g(x)$ skasuj lewą część, więc $g(x)=-3x^2-9$.

Wykres: https://www.desmos.com/calculator/6ynoxvdfpe