Transforming Observables, Misunderstanding Griffiths, Intro. do QM lub inną definicję
We wstępie Griffithsa . do QM 3rd, Sec. 6.2 , przekształcając obserwowalny$Q$ przez operatora tłumaczenia $T$ znajduje się $$ Q' = T^\dagger Q\ T $$ to samo dla operatora parzystości $\Pi$ zamiast $T$ mamy $Q' = \Pi^\dagger Q\ \Pi$.
Ale w innych tekstach, np. Tannoudji, QM, wyd. 2, t. I, Uzupełnienia rozdziału VI, Uzupełnienie B$_{VI}$, 5. Rotacja obserwabli , a także w innych pytaniach tu i tu transformacja na obserwowalne$A$ poprzez jednostkową transformację $U$ Powinien być $$ A' = UA\ U^\dagger $$ gdzie $U$jak rozumiem, powinna być aktywna transformacja, jak $T$powyżej i spodziewałem się, że te dwa równania będą takie same. Ale wydaje się, że te dwie definicje nie są równoważne, czy też jest jakiś błąd?
DODANY
Definicja Griffitha:
Operator przekształcony $\hat Q'$ jest zdefiniowany jako operator, który daje taką samą wartość oczekiwaną w stanie nieprzetłumaczonym $\psi$ podobnie jak operator $\hat Q$ w stanie przetłumaczonym $\psi'$ $$ \langle\psi'|\hat Q|\psi'\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$Istnieją dwa sposoby obliczenia wpływu tłumaczenia na wartość oczekiwaną. Można by właściwie przesunąć funkcję falową na pewną odległość (nazywa się to transformacją aktywną ) lub można zostawić funkcję falową tam, gdzie była i przesunąć początek naszego układu współrzędnych o tę samą wartość w przeciwnym kierunku ( transformacja pasywna ). Operator$\hat Q'$ jest operatorem w tym przesuniętym układzie współrzędnych.
Korzystanie z Eq. 6.1,$$ \langle\psi|T^\dagger\hat Q\ \hat T|\psi\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$
Definicja Tannoudji:
Załóżmy, że system jest w stanie własnym $|u_n\rangle$ z $A$: urządzenie do pomiaru $A$ w tym systemie da wynik $a_n$bezbłędnie. Ale tuż przed wykonaniem pomiaru stosujemy obrót$\scr R$do systemu fizycznego i jednocześnie do urządzenia pomiarowego; ich względne pozycje pozostają niezmienione. W konsekwencji, jeśli obserwowalne$A$ który rozważamy opisuje wielkość fizyczną przyłączoną tylko do układu, który obróciliśmy (czyli niezależnie od innych układów lub urządzeń, których nie obróciliśmy), wówczas w nowym położeniu urządzenie pomiarowe będzie nadal dawało ten sam wynik $a_n$bezbłędnie. Teraz, po obróceniu, urządzenie z definicji mierzy$A'$, a system jest w stanie: $$ |u_n'\rangle = R|u_n\rangle $$ Dlatego musimy mieć: $$ A|u_n\rangle = a_n|u_n\rangle \implies A'|u_n'\rangle = a_n|u_n'\rangle $$ to jest: $$ R^\dagger A' R |u_n\rangle = a_n|u_n\rangle $$
Zwróć na to uwagę $\scr R$ jest rotacją fizycznej trójwymiarowej przestrzeni i $R$ jest jego reprezentatywnym operatorem w przestrzeni Hilberta.
Odpowiedzi
Przy definiowaniu ( aktywnego ) działania symetrii na obserowalne w fizyce kwantowej istnieją dwa fizycznie różne koncepcje o różnych właściwościach matematycznych .
Załóżmy, że, zgodnie z twierdzeniem Wignera ,$U$ jest unitarną lub anty unitarną transformacją wektorów stanu $\psi$odpowiadające aktywnemu działaniu na stany układu kwantowego.
Jeśli $A$jest obserwowalna, mamy podwójne działanie ,$$A \to S_U(A) := U^{-1}A U$$i odwrotne działanie podwójne $$A \to S^*_U(A) := UAU^{-1}\:.$$
Pierwsza z nich oznacza działanie na fizyczne przyrządy pomiarowe w taki sposób, że wpływ na wyniki na niezmienionym stanie jest taki sam, jak na wyniki zmienionych stanów na niezmienionych obserwablach. To znaczy zamiast tłumaczyć system$x$, Tłumaczę instrumenty $-x$.
To ostatnie oznacza oddziaływanie na przyrządy pomiarowe, które znoszą oddziaływanie symetrii na system w zakresie wyników pomiarów.
Dowody tych faktów są trywialne z podstawowego formalizmu QM (patrz ostatnia uwaga ).
Przy omawianiu działania grupy symetrii istnieje zasadnicza różnica matematyczna $G$ reprezentowane przez unitarną (lub projekcyjną unitarną) reprezentację na wektorach stanu $$G\ni g \mapsto U_g\:.$$ Jak zwykle (do faz) $$U_gU_h =U_{g\circ h}\:, \quad U_e = I$$ gdzie $\circ$ jest produktem $G$ i $e$jest elementem tożsamości. Odtąd używam skrótu$S_g := S_{U_g}$ i podobnie dla $S^*$.
Odwrotne działanie podwójne definiuje właściwą reprezentację $G$: $$S^*_g S^*_h = S^*_{g\circ h}\:,$$ podczas gdy podwójne działanie definiuje lewą reprezentację $$S_g S_h = S_{h\circ g}\:.$$Użycie tego lub innego działania jest kwestią wygody i zależy od fizycznej interpretacji. W QFT naturalne działanie grupy izometrii czasoprzestrzeni na obserwable pola jest zwykle realizowane poprzez$S^*$.
UWAGA .
Jeśli $$A = \int_{\sigma(A)} \lambda dP^{(A)}(\lambda)$$ jest rozkładem widmowym operatora samosprzężonego $A$ i $U$ jest zatem operatorem unitarnym lub antyuniitarnym $$UAU^{-1} = \int_{\sigma(A)} \lambda dUP^{(A)}(\lambda)U^{-1}\:.$$ Innymi słowy, miara widmowa $P^{(UAU^{-1})}(E)$ z $UAU^{-1}$ jest tylko $UP^{(A)}(E)U^{-1}$.
Stąd prawdopodobieństwo, że wynik $A$ pozostaje w $E\subset \mathbb{R}$ gdy stan jest reprezentowany przez wektor jednostkowy $\psi$ jest $$||P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||P^{(U^{-1}AU)}(E)||^2 = ||P^{(S_U(A))}(E) \psi||^2\:,$$ dając podstawę do wspomnianej interpretacji $S_U(A)$: działa dalej $A$ z $S_U$ a pozostawienie stanu stałego jest równoznaczne z działaniem $\psi$ z $U$ i wychodzę $A$ niezmieniony.
W szczególności w odniesieniu do wartości oczekiwanych, $$\langle\psi| S_U(A) \psi \rangle = \langle U\psi| A \:U\psi \rangle$$
Podobnie, $$||P^{(S^*_{U}(A))}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}UP^{(A)}(E)U^{-1}U \psi||^2 = ||P^{(A)}(E) \psi||^2\:,$$ dając podstawę do wspomnianej interpretacji $S^*_U(A)$: akcja dalej $A$ z $S_U^*$ anuluje działanie $U$ na $\psi$.
W szczególności w odniesieniu do wartości oczekiwanych, $$\langle U\psi| S^*_U(A) U\psi \rangle = \langle\psi| A \psi \rangle$$