$uu^* \leq vv^* \implies \exists w : u = vw$

Question

Rozważ następujący fragment z książki Murphy'ego „$C^*$-algebry i teoria operatorów ":

Jak możemy przedłużyć $w_0$ do mapy $w_1: H \to H$? Myślę, że najpierw przedłużymy$w_0$ do zamknięcia $\overline{v^*(H)}$ a następnie zdefiniuj to jako $0$na jej dopełnieniu ortogonalnym. Czy to działa?

Poza tym, dlaczego mamy $u = vw_1$? Czy to zależy od wyraźnego rozszerzenia$w_0$ czy też jest to prawdą dla wszystkich ograniczonych rozszerzeń $w_0$?

Answer 1

Tak, zawsze możesz to zrobić. Jeśli nigdy tego nie robiłeś, musisz pokazać, że każdy ograniczony operator liniowy może zostać przedłużony przez ciągłość aż do zamknięcia jego domeny. A jeśli się rozłożysz$H=H_1\oplus H_1^\perp$ i $S,T$ są ograniczone operatory $H_1$ i $H_1^\perp$ odpowiednio, to $S\oplus T$ określony przez $(S\oplus T)(x\oplus y)=Sx\oplus Ty$ jest operatorem ograniczonym z $\|S\oplus T\|\leq\|S\|+\|T\|$.