Zmiana kierunku integracji

Question

Muszę zmienić kierunek całki:

$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$

Z tego, co wiem, najpierw muszę znaleźć kształty:

$0.5y^2 = x$ i $\sqrt{3-y^2} =x$

Kształt I to parabola: $y^2 = 2x$
Kształt II to koło $x^2 + y^2 = 3$ (promień $\sqrt{3}$)

Więc w zasadzie rysujemy poziome strzałki od paraboli do koła, podczas gdy trzymamy $0 \leq y \leq 1$.

Coś, co wygląda bardzo podobnie do tego obrazu:

Musimy narysować pionowe linie, więc wygląda to tak, ale mamy 3 obszary:

1. Gdzie uderzyliśmy w parabolę (czerwony)
2. Gdzie osiągnęliśmy linię $y=1$ (Zielony)
3. Gdzie trafiliśmy w okrąg (niebieski)

I tak moja ostateczna odpowiedź brzmi:

$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$

Czy mam rację do tej pory? Jeśli nie, to jak to naprawić? Czuję, że utknąłem, ponieważ nie mam pojęcia, jak dalej iść ... Byłbym wdzięczny za pomoc! Dzięki!

Answer 1

To, co zrobiłeś, jest poprawne. Skończyłeś.

Sprawdzanie Twojej pracy, $y=1$ krzyżować $0.5y^2=x$ w $x=0.5$. (odpowiada to pomarańczowemu regionowi.$0.5y^2=x$ jest równa $y=\sqrt{2x}$ gdy $y>0$.

Również, $y=1$ krzyżować $\sqrt{3-y^2}=x$ w $x=\sqrt2$. $\sqrt{3-y^2}=x$ jest równoważne $y=\sqrt{3-x^2}$ gdy $y>0$.

Dolna granica jest zawsze $y=0$.

Możesz również wyrazić to zwięźle jako

$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$

Dalsza ocena zależy od szczegółów $f$. Jedną z możliwych motywacji dokonywania zmiany kolejności całek jest forma$f$ jest łatwiejszy do zintegrowania w określonej kolejności.

Uwaga: w zależności od twojej społeczności, niektórzy piszą to jako

$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$