Znajdowanie macierzy elementarnych

Question

Rozważmy więc te macierze $$A=\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$ $$ B =\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1\\ \end{bmatrix} $$

A pytanie brzmi: znaleźć odwracalną macierz $X$ takie że $AX=B$ i wyrazić $X$jako iloczyn 2 macierzy elementarnych.

To, co wiem, próbowałem: Więc wiem, że możesz łatwo uzyskać X, odwracając A i mnożąc to przez B, ale potrzebuję dwóch podstawowych macierzy, więc wypróbowałem inne rozwiązanie.

$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B$$

Więc to, co zrobiłem, to spróbować zrównać A z podstawowymi operacjami na wierszach i zrobić to samo z kolejną 2 $\times$ 2 macierz tożsamości.

$$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$

$$R_{1} \iff R_{2}$$

$$\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 1\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$

$$R_{1} + R_{2} \implies R_{1} $$

$$\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$

Więc udało mi się dotrzeć do C w dwóch elementarnych operacjach, takich jak określony problem. Ale kiedy spróbuję sprawdzić moje pierwotne równanie:

$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B $$ $$\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\end{pmatrix}\begin{bmatrix}1& 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}$$

To nie jest równe C. Nie rozumiem, co robię źle? Wielokrotnie próbowałem wykonać obliczenia i nadal dochodzę do tego samego. Gdzie jest mój błąd? Czy to sam proces?

Answer 1

Spróbuj obliczyć $A^{-1}B$ a zobaczysz, że macierz różni się od $E_1E_2$ , więc ze względu na odwrotność macierzy kwadratowej jest unikalna (i tak $A^{-1}B$ też) twoja metoda jest zła.

---

Aby rozwiązać ten problem, użyłbym własności macierzy traspose, a mianowicie:

$$(KA)^T=A^TK^T$$

Aby to wykorzystać, znajdź podstawowe macierze dla systemu: $$KA^T = B^T$$ z $K=E_2E_1$, a następnie wszystko skasuj, uzyskując:

$$(E_2E_1A^T)^T = (B^T)^T \iff AE_1^TE_2^T = B$$