Znajdowanie produktu Tensor [duplikat]

Jan 07 2021

Pozwolić $\Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}:= M$

Jest $ M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \cong \Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Q}$? Uważam, że to prawda, ale nie wiem, jak to udowodnić.

Prosimy o pomoc z pomysłem / wskazówką.

Z góry dziękuję.

Odpowiedzi

2 QiaochuYuan Jan 07 2021 at 01:38

To fałsz. Jest naturalna mapa

$$\left( \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Z} \right) \otimes \mathbb{Q} \to \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$$

który jest iniekcyjny, ale nie surogatywny. Jego obraz składa się z podprzestrzeni$\prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$ składający się z ciągów, których mianowniki są ograniczone lub równoważnie, które można umieścić pod wspólnym mianownikiem (zasadniczo dlatego, że tensoring przez $\mathbb{Q}$ pozwala tylko na podzielenie całego ciągu liczb całkowitych przez jakiś wspólny mianownik), a więc nie zawiera, na przykład, ciągu $n \mapsto \frac{1}{n}$.

(Z drugiej strony te grupy są abstrakcyjnie izomorficzne, ponieważ obie są przestrzeniami wektorowymi $\mathbb{Q}$wymiaru kontinuum. Zobacz tę matematykę, odpowiedź E, która mówi w zasadzie to samo.)

Ogólnie rzecz biorąc, produkt tensor gwarantuje zachowanie tylko skończonych produktów. Możesz pokazać, że tensowanie za pomocą modułu zachowuje nieskończone produkty, jeśli jest on ostatecznie przedstawiony (co$\mathbb{Q}$nie jest); zobacz tę matematykę . odpowiedź E.