ค่าคงที่ของออยเลอร์

“จ”. พวกเราทุกคนเจอ "e" มันคืออะไร?

เป็นอักษรตัวที่ 5 และสระตัวที่ 2 ในภาษาอังกฤษ เป็นสิ่งที่เราพูดเมื่อเราอวดฟันของเรา แต่นักคณิตศาสตร์ยอมรับว่ามันเป็นค่าคงที่ของออยเลอร์ ยืนเคียงข้างค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญอื่นๆ เช่น π , i, Φ , sqrt{2} และอื่นๆ ค่าคงที่จำนวนอตรรกยะนี้มีค่า 2.718281828459045235……

ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เป็นแบบเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น π คืออัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง sqrt{2} คือความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ขาวัดเอกภาพ แต่ “e” เป็นค่าคงที่ที่ไม่ได้กำหนดด้วยรูปทรงเรขาคณิตหรือรูปทรงใดๆ ขึ้นอยู่กับการเติบโตหรืออัตราการเปลี่ยนแปลง แต่อย่างไร?

ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 17 เมื่อJacob Bernoulliกำลังทำงานเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น ซึ่งก็คือการได้รับดอกเบี้ยจากเงินของคุณ

สมมติว่าคุณเป็นส่วนหนึ่งของธนาคาร เป็นธนาคารที่เอื้อเฟื้อเผื่อแผ่ สมมติว่าคุณให้เงินธนาคาร ₹1 และธนาคารให้ดอกเบี้ย 100% ต่อปี (ธนาคารใจดีมากจริงๆ) ดังนั้น ในช่วงสิ้นปี คุณจะมีเงิน ₹2 ดังนั้น หากคุณได้รับดอกเบี้ย 50% ต่อ 6 เดือน คุณจะได้เงินจำนวนเท่ากัน ₹2 หรือไม่ หรือมากกว่านั้น? หรือน้อยกว่านั้น? ลองคำนวณกันดูไหม?

นี่แสดงว่าถ้าคุณรับดอกเบี้ย 50% ต่อ 6 เดือน มันจะช่วยให้คุณได้รับมากกว่าดอกเบี้ย 100% ต่อปี แล้วถ้ารับดอกเบี้ย 1/12 ทุกเดือนล่ะ?

จากนั้นจะเป็น

หากได้รับดอกเบี้ย 1/52 ต่อสัปดาห์ จำนวนเงินสุดท้ายของคุณจะเป็น

ดอกเบี้ย 1 ใน 365 ในแต่ละวัน จำนวนเงินของคุณในช่วงปลายปีหลังจากให้เงิน ₹1 แก่ธนาคารจะเป็นเท่าไหร่

คุณสามารถคำนวณจำนวนเงินที่คุณได้รับในทุกชั่วโมง ทุกนาที ทุกวินาที หรือแม้แต่ทุกมิลลิวินาทีได้ในทำนองเดียวกัน!

แล้วคุณล่ะสังเกตจากอะไร? ค่านี้คำนวณเมื่อ n เพิ่มขึ้นโดยใช้สูตรทั่วไป เช่น

ดังนั้น คุณจะสังเกตได้ว่าเมื่อค่าของ n เพิ่มขึ้น ค่านั้นเข้าใกล้ค่าหนึ่งขึ้นเรื่อยๆ นี่คือค่าของ "e"

แต่ Jacob Bernoulli ไม่ได้คำนวณค่าคงที่ เขาเพิ่งรู้ว่าค่าของมันจะอยู่ระหว่าง 2 ถึง 3 ในที่สุด ออยเลอร์ก็คำนวณค่าคงที่นี้และพิสูจน์ว่ามันไม่มีเหตุผล เขาใช้สูตรคำนวณค่าไม่ใช่หรือครับ

แต่อีกสูตรหนึ่ง เขาใช้สูตรต่อไปนี้

นี่คือเศษส่วนต่อเนื่อง คุณสามารถพูดได้ว่าเมื่อมันดำเนินไปตลอดกาล เศษส่วนนี้จะมีรูปแบบของ 2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,…… ดังนั้น ถ้ามันดำเนินต่อไปตลอดกาล ก็เป็นเศษส่วนอตรรกยะ ถ้ามันจบลง มันจะมีเหตุผล เพราะคุณสามารถเขียนมันเป็นเศษส่วนได้ ดังนั้น สิ่งนี้พิสูจน์ได้ว่า “e” เป็นค่าคงที่อตรรกยะ

ในการคำนวณค่าของ "e" ออยเลอร์ใช้สูตรอื่น นั่นคือ,

“e” เป็นภาษาธรรมชาติของการเติบโต เป็นภาษาธรรมชาติของแคลคูลัส ทำไม

รูปด้านบนแสดงกราฟของ e^x ทีนี้ ความพิเศษของกราฟ e^x คือ ถ้าคุณเลือกจุดใดๆ บนกราฟ ค่าของจุดนั้นคือ e^x การไล่ระดับสีที่จุดนั้นคือ e^x และพื้นที่ใต้กราฟจากจุดนั้น ต่อไปถึง -∞ ก็เป็น e^x เช่นกัน ดังนั้น เมื่อคุณอินทิเกรตหรือแยกความแตกต่างของ e^x คุณจะได้ e^x เอง ค่าคงที่ "e" นี้เป็นเครื่องมือที่แข็งแกร่งมากในแคลคูลัส

ค่าคงตัวของออยเลอร์ “e” เป็นที่รู้จักกันว่านำค่าคงที่จำนวนมากในคณิตศาสตร์มารวมกันในสูตรเดียว นั่นคือ รากของ -1 ซึ่งก็คือ i, π, 1 และ 0 ซึ่งหลายครั้งเรียกว่าค่าคงที่มากที่สุด สมการที่สวยงามในคณิตศาสตร์:

ฉันจะเขียนเพิ่มเติมเกี่ยวกับสมการนี้ในบทความหน้า