Die Eulersche Konstante

„e“. Jeder von uns ist schon einmal auf „e“ gestoßen. Was ist es?

Es ist das 5. Alphabet und der 2. Vokal in der englischen Sprache. Das sagen wir, wenn wir jemandem unsere Zähne zeigen. Aber Mathematiker erkennen es als die Eulersche Konstante an . Neben anderen wichtigen mathematischen Konstanten wie π , i, Φ , sqrt{2} usw. hat diese konstante, irrationale Zahl einen Wert von 2,718281828459045235……

Die meisten mathematischen Konstanten sind geometrisch. Zum Beispiel ist π das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser, sqrt{2} ist die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Schenkel eins messen. Aber „e“ ist eine Konstante, die nicht durch Geometrie oder irgendeine Form definiert ist. Sie basiert auf dem Wachstum oder der Änderungsrate. Aber wie?

Gehen wir zurück ins 17. Jahrhundert, als Jacob Bernoulli am Zinseszins arbeitete, also Zinsen auf Ihr Geld erhielt.

Angenommen, Sie sind Teil einer Bank, einer sehr großzügigen Bank. Nehmen wir an, Sie haben der Bank 1 £ gegeben und die Bank gibt 100 % Zinsen pro Jahr. (In der Tat eine sehr großzügige Bank). Jetzt, gegen Ende des Jahres, werden Sie also 2 ₹ haben. Wenn Sie also alle 6 Monate 50 % Zinsen erhalten, erhalten Sie am Ende den gleichen Betrag, nämlich 2 £? Oder mehr als das? oder weniger? Lassen Sie uns rechnen und sehen, sollen wir?

Nun, dies zeigt, dass wenn Sie 50 % Zinsen pro 6 Monate nehmen, es Ihnen helfen wird, mehr zu gewinnen, als wenn Sie 100 % Zinsen pro Jahr haben. Was wäre, wenn Sie jeden Monat 1/12 Zinsen nehmen würden?

Dann wird es sein,

Wenn 1/52 der Zinsen pro Woche gegeben werden, wäre Ihr endgültiger Betrag:

Wie wäre es mit 1/365 Zinsen pro Tag, dann wäre Ihr Betrag gegen Ende des Jahres, nachdem Sie der Bank 1 ₹ gegeben haben,

Sie können auf ähnliche Weise berechnen, wie viel Geld Sie jede Stunde, jede Minute, jede Sekunde oder sogar jede Millisekunde erhalten!

Also, was beobachten Sie? Der Wert wird mit steigendem n nach der allgemeinen Formel as berechnet

Sie können also feststellen, dass sich der Wert mit zunehmendem Wert von n einem bestimmten Wert immer nähert. Dies ist der Wert von „e“.

Aber Jacob Bernoulli hat den Wert der Konstante nicht berechnet. Er wusste nur, dass ihr Wert irgendwo zwischen 2 und 3 liegen würde. Es war Euler , der diese Konstante schließlich berechnete und bewies, dass sie irrational war. Er benutzte eine Formel, um den Wert zu berechnen, nicht

Aber eine andere Formel. Er verwendete die folgende Formel.

Dies ist ein fortgesetzter Bruch . Man kann sagen, dass dieser Bruch, während er ewig so weitergeht, ein Muster hat, 2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,......Also, wenn es ewig so weitergeht, dann ist es ein irrationaler Bruch. Wenn es beendet worden wäre, wäre es rational gewesen, da Sie es als Bruch schreiben können. Damit ist bewiesen, dass „e“ eine irrationale Konstante ist.

Um den Wert von „e“ zu berechnen, verwendete Euler eine andere Formel. Das ist,

„e“ ist die natürliche Sprache des Wachstums, es ist die natürliche Sprache des Kalküls. Wieso den?

Die obige Abbildung zeigt den Graphen von e^x. Nun, das Besondere an einem e^x-Graphen ist, dass, wenn Sie irgendeinen Punkt auf dem Graphen nehmen, der Wert dieses Punktes e^x ist, der Gradient an diesem Punkt e^x und die Fläche unter dem Graphen von diesem Punkt aus ist weiter bis -∞ ist auch e^x. Wenn Sie also e^x integrieren oder differenzieren, erhalten Sie e^x selbst. Diese Konstante „e“ bildet ein sehr starkes Werkzeug in der Analysis.

Die Eulersche Konstante „e“ ist auch dafür bekannt, einige der großen Konstanten in der Mathematik in einer Formel zusammenzubringen, d. h. die Wurzel von -1, die i, π, 1 und 0 ist. Dies wird auch oft als die meisten bezeichnet schöne Gleichung in Mathe:

Ich werde mehr über diese Gleichung in einem kommenden Artikel schreiben.