Mathématiques hyperconcises C5 : Entrées multiples

Le graphe d'une fonction à n entrées indépendantes (qui peut être considérée comme une fonction d'un point) définit un objet à n dimensions dans un espace à n+1 dimensions. Par exemple, une fonction avec une entrée y = f(x) (x, y et z sont des nombres réels) définit une courbe (a une longueur mais une aire nulle), tandis qu'une fonction avec deux entrées indépendantes (z = f(x, y)) définit une surface (a une aire mais un volume nul) :

Certaines fonctions multivariables ne sont pas définies pour des courbes ou des zones entières dans l'espace d'entrée :

Les limites à plusieurs variables (comme les entrées se rapprochent arbitrairement du point (a,b…), la sortie se rapproche arbitrairement d'un certain nombre) ont les mêmes propriétés que les limites à une variable (notez que dans toute limite multivariable d'une fonction qui ne dépend que de x, les autres variables peuvent être supprimées pour former une limite à une variable). Cependant, si les limites le long de chaque courbe dans l'espace d'entrée qui contient (a,b,...) ne sont pas les mêmes, la limite globale à (a,b,...) "n'existe pas" (c est tout nombre qui n'existe pas dépend de x) :

Prouver qu'une limite multivariable existe implique généralement l'utilisation des propriétés de limite, la simplification, le changement de variables ou le théorème de compression.