Prende il nome dal matematico britannico George Green, il Teorema di Green è un teorema per eccellenza nel calcolo, il ramo della matematica che si occupa dello studio rigoroso del cambiamento continuo e delle funzioni. Questo articolo esplora il calcolo nello spazio euclideo tridimensionale R³ e mira a colmare il divario tra la matematica scolastica e quella universitaria.

Il primo teorema nello studio del calcolo vettoriale riduce un integrale di area a un integrale di linea. Mette in relazione una linea integrale attorno a una semplice curva chiusa C a un doppio integrale sulla regione piana D delimitata da C.

L'intuizione

Per capirlo in termini semplici, pensa a un flusso fluido in un piano bidimensionale. Immagina che il fluido scorra all'interno di una regione e il suo flusso sia descritto da un campo vettoriale. La curva che delimita questa regione può essere pensata come una barriera, e noi siamo interessati alla circolazione netta del fluido attorno a questa barriera.

L'intuizione qui è che la circolazione netta attorno a una curva chiusa è determinata dal "comportamento rotazionale" (curl) del campo vettoriale all'interno della regione che racchiude. Se il ricciolo è positivo, significa che il campo sta ruotando nella stessa direzione dell'orientamento della curva (in senso antiorario), il che contribuisce alla circolazione. Se l'arricciatura è negativa, si oppone all'orientamento della curva, riducendo la circolazione.

Area di un'ellisse

Un'applicazione del teorema di Green è nelle aree informatiche. Quella che segue è l'area della regione D

Il nostro obiettivo è scegliere funzioni arbitrarie P e Q in modo da ottenere quanto segue è soddisfatto.

Ci sono una manciata di possibilità utili.

Come possiamo vedere, queste diverse espressioni danno tutte la stessa area.

Per calcolare l'area con il teorema di Green, sceglieremo la prima possibilità.

C denota la curva dell'equazione dell'ellisse. Lo parametrizzeremo nel seguente.

La curva va da 0 a 2pi, l'integrale è ora

Possiamo allora sostituire x = acost(t) così come la derivata di y rispetto a t.

Come esercizio, prova a calcolare l'integrale e la risposta dovrebbe risultare come

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