"합리적인"과 "비합리적인"이라는 단어를 들으면 "스타 트렉"에서 냉정하고 집요하게 분석적인 Spock 씨와 완고하고 감정적으로 변덕스러운 Dr. "Bones" McCoy의 차이점을 떠올릴 수 있습니다. 텔레비전과 영화 세계. 당신이 수학자 가 아니라면 아마도 정수 대 제곱근의 비율에 대해 생각하지 않을 것입니다. 우리 중 수학자가 아닌 사람들 이 클링온에서 부르는 Queen의 "Bohemian Rhapsody"를 듣는 것만큼 혼란스럽게 느끼게 만드는 그런 종류의 것입니다. .
그러나 단어가 일상적인 사용과 매우 다른 특정한 의미를 갖는 경우가 있는 수학의 영역에서 합리적인 숫자와 무리한 숫자의 차이는 추론 및 논리 대 순수한 감정적 충동과는 아무 관련이 없습니다.
'비율'이라는 단어를 기억하십시오
"유리수와 무리수 사이의 차이를 기억할 때 한 단어: 비율을 생각하십시오."라고 Eric D. Kolaczyk 는 설명합니다 . 그는 보스턴 대학의 수학과 통계학과 교수이자 대학의 Rafik B. Hariri 컴퓨팅 및 계산 과학 및 공학 연구소 소장입니다 .
Kolaczyk은 이메일에서 "숫자를 두 정수의 비율로 쓸 수 있다면(예: 1 나누기 10, -5 나누기 23, 1,543 나누기 10 등) 유리수 범주에 넣습니다."라고 설명합니다. "그렇지 않으면 우리는 그것이 비합리적이라고 말합니다."
정수 또는 분수(정수의 일부)를 분모라고 하는 다른 정수 위에 분자라고 하는 정수를 사용하여 비율로 표현할 수 있습니다. 분모를 분자로 나눕니다. 1/4 또는 500/10(50이라고도 함)과 같은 숫자를 제공할 수 있습니다.
유리수와 달리 무리수는 매우 복잡합니다. Wolfram MathWorld 가 설명하는 것처럼 분수로 표현할 수 없으며 소수점이 있는 숫자 로 쓰려고 하면 패턴이 멈추지 않고 계속해서 숫자가 계속 표시됩니다.
그렇다면 어떤 종류의 숫자가 그렇게 미친 방식으로 행동합니까? 기본적으로 복잡한 것을 설명하는 것들. 아마도 가장 유명한 무리수 는 원주와 원의 지름의 비율을 나타내는 파이(p에 대한 그리스 문자인 π로 표기되기도 함)일 것입니다 . 수학자 스티븐 보가트(Steven Bogart)가 1999년 Scientific American 기사 에서 설명했듯이 비율은 원의 크기에 관계없이 항상 파이와 같습니다. 초기 시도 부터파이를 계산하기 위해 거의 4,000년 전에 바빌론의 수학자들이 수행했지만, 수학자들의 연속적인 세대는 계속해서 연결을 끊고 반복되지 않는 패턴을 가진 더 길고 더 긴 소수 문자열을 생각해 냈습니다. 2019년에 Google 연구원 Hakura Iwao는 이 Cnet 기사 에서 자세히 설명 하는 것처럼 파이를 31,415,926,535,897자리로 확장했습니다 .
때때로, 제곱근 (즉, 자신을 곱할 때 처음 시작하는 숫자를 생성하는 숫자의 인수)은 4와 같은 정수인 완전제곱이 아닌 한 무리수입니다. 제곱근 / 16. 가장 눈에 띄는 예 중 하나는 2의 제곱근 으로 1.414에 반복되지 않는 숫자의 끝없는 문자열을 더한 것입니다. 이 값 은 고대 그리스인이 피타고라스 정리 에서 처음 설명한 것처럼 정사각형 안의 대각선 길이에 해당합니다 .
왜 우리는 '합리적'과 '비합리적'이라는 단어를 사용합니까?
왜 우리는 그것들을 합리적이고 비합리적이라고 부르는가? 그건 좀 흐릿한 것 같습니다. Kolaczyk은 "우리는 일반적으로 '합리적'이라는 말을 이성 또는 이와 유사한 것을 의미하는 데 사용합니다. "수학에서의 그것의 사용은 1200년대에 영국 출처에서 발견된 것 같습니다(Oxford English Dictionary에 따름). 만약 'rational'과 'ratio'를 라틴어 뿌리로 거슬러 올라가면, 두 경우 모두 뿌리는 넓게 말해서 '추론'에 관한 것입니다."
더 분명한 것은 유리수와 무리수 모두 문명의 발전에 중요한 역할을 했다는 것입니다. 언어는 아마도 인간 종의 기원으로 거슬러 올라가지만 숫자는 훨씬 더 늦게 등장 했다고 수학 교사이자 "For Dummies" 시리즈에서 10권의 책을 저술한 작가 Mark Zegarelli 가 설명합니다. 그는 수렵 채집인들은 양을 대략적으로 추정하고 비교하는 능력 외에는 수치적 정밀도가 그다지 필요하지 않았을 것이라고 말합니다.
"그들은 '사과가 더 이상 없습니다'와 같은 개념이 필요했습니다."라고 Zegarelli는 말합니다. "그들은 '우리는 정확히 152개의 사과를 가지고 있다'는 것을 알 필요가 없었습니다."
그러나 인간이 농장을 만들고, 도시를 건설하고, 상품을 제조하고 거래하기 위해 토지를 개척하기 시작했고, 집에서 더 멀리 여행하면서 더 복잡한 수학이 필요했습니다.
Kolaczyk은 "지붕이 가장 높은 지점에서 바닥까지 이어지는 길이와 같은 길이의 지붕이 있는 집을 지었다고 가정해 봅시다."라고 말합니다. "지붕 표면 자체가 위에서 바깥쪽 가장자리까지 뻗어 있는 길이는 얼마나 됩니까? 항상 상승(run)의 2의 제곱근의 인수입니다. 그것도 무리수입니다."
Carrie Manore 에 따르면 기술적으로 발전된 21세기에는 무리한 숫자가 계속해서 중요한 역할을 합니다. 그녀는 로스 알라모스 국립 연구소 정보 시스템 및 모델링 그룹의 과학자이자 수학자입니다 .
Manore는 이메일을 통해 "Pi는 가장 먼저 이야기해야 할 불합리한 숫자입니다. "우리는 원의 면적과 둘레를 결정하는 데 필요합니다. 각도를 계산하는 데 중요하고 각도는 탐색, 건물, 측량, 엔지니어링 등에 중요합니다. 무선 주파수 통신은 파이를 포함하는 사인 및 코사인 에 의존합니다." 또한 무리한 숫자는 빈도가 높은 주식 거래, 모델링, 예측 및 대부분의 통계 분석을 가능하게 하는 복잡한 수학에서 핵심적인 역할을 합니다.
목록은 계속될 수 있습니다. "사실 현대 사회에서는 무리수가 사용되지 않는 곳이 어디인지 묻는 것이 거의 합리적입니다." 매너는 말한다.
흥미롭네요
계산적으로 "우리는 거의 항상 실제로 문제를 해결하기 위해 이러한 무리수에 대한 근사값을 사용하고 있습니다"라고 Manore는 설명합니다. " 컴퓨터는 특정 정밀도로만 계산할 수 있기 때문에 이러한 근사값은 합리적입니다. 무리수 개념은 과학 및 공학 분야에 널리 퍼져 있지만 실제로 실제로는 실제 무리수를 실제로 사용하지 않는다고 주장할 수 있습니다."
