Aproksymacja transformaty Fouriera

Jan 03 2021

Załóżmy, że transformata Fouriera $\hat{f}(k)$ (z $k \in \mathbb{R}^d$) jest podana i zamierzamy uzyskać informacje o jego odpowiedniku w przestrzeni pozycyjnej $f(x)$. Kiedy analityczne obliczenia odwrotnej transformaty Fouriera$\hat{f}(k)$ nie jest możliwe, nadal można uzyskać przydatne informacje, specjalizując się w określonych regionach $k$przestrzeń; na przykład, w fizyce statystycznej często jest zwyczajowo badać „makroskopowe” właściwości, np. funkcji korelacji, poprzez badanie$k\to 0$granica ich transformacji Fouriera. Wydaje mi się, że taki proces jest nieco analogiczny do patrzenia na szereg Taylora transformaty Fouriera , tj. \ Begin {equation} \ hat {f} (k) = \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + k \ części_k \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + \ ldots \ end {equation} Jeśli ktoś obcina ten szereg, a następnie próbuje wykonać na nim odwrotną transformację Fouriera,$$ \int \frac{dk}{2\pi} e^{ikx} \hat{f}_{\rm trunc}(k), $$ w niektórych przypadkach może się okazać, że wynik różni się od $k\to\infty$. Jednak w wielu teoriach, a zwłaszcza w teoriach terenowych, istnieje górna granica$k$który określa zakres ważności tej teorii; takie odcięcie często rozwiązuje możliwą dywergencję odwrotnej transformaty Fouriera.

Pytanie Czy funkcja przestrzeni pozycji, która jest uzyskiwana z odwrotnej transformacji obciętego szeregu Taylora$\hat{f}_{\rm trunc}$, z pewnym odcięciem $\Lambda$, W przybliżeniu pierwotną funkcję$f(x)$w jakimkolwiek sensie? w przeciwnym razie czy istnieje systematyczny sposób uzyskiwania takiej przybliżonej postaci z jej transformaty Fouriera$\hat{f}(k)$?

Odpowiedzi

G.Carugno Jan 13 2021 at 19:53

Kiedy skracasz ekspansję Taylora $0$, mówisz, że interesują cię mody o długich falach. Są to często tryby, które są długowieczne, więc przez długi czas będą w przybliżeniu opisywać twój system. W duchu jest to jak zgrubne ziarnowanie: zapominasz o szybkiej mikroskopijnej dynamice i zachowujesz tylko makroskopowe informacje. W bardziej rygorystycznym sensie tak$|| \mathcal{F}^{-1} [\hat f_{trunc}](x) - f(x) ||_2 = || \hat f_{trunc}(k) - \hat f (k) ||_2$, więc jeśli przybliżenie transformacji Fouriera jest dobre w $L^2$ sens, więc będzie to przybliżenie przestrzeni pozycji $f(x)$.