Całka ważona splotu

Question

Po kilku eksperymentach wydaje mi się, że:

całka (w całej domenie) splotu $(f*s)(x)$, funkcji filtrującej$f(x)$z funkcją sygnału$s(x)$Pomnożona przez ciężar funkcji$w(x)$,

$$ \int (f*s)(x) \cdot w(x) \, dx $$

, gdy wszystkie funkcje są całkowalne ,

jest równa całce funkcji sygnału$s(x)$ważone przez korelację krzyżową $(f\star w)(x)$z filtra funkcji$f(x)$z funkcją wagi$w(x)$,

$$ \int (f\star w)(x) \cdot s(x) \, dx $$

Czy to prawda?

Jeśli tak, jaki jest tego dowód?

Jeśli tak nie jest, czy jest coś podobnego, co pozwala połączyć funkcje filtra i wagi w celu utworzenia nowej funkcji wagi?

Answer 1

Jeśli się nie mylę, to po prostu zmiana kolejności całkowania (co musi być uzasadnione warunkami całkowania): \begin{align} \int (f*s)(x)w(x) dx & = \int\int f(y-x)s(y)dy\, w(x)dx\\ & = \int\int f(y-x)w(x)dx\, s(y)dy\\ & = \int (f\star w)(y)s(y)dy. \end{align}