Elementarny przykład nieokreślonej formy $1^\infty$

Question

Rozmawiam z matematyką z bystrym licealistą, który jeszcze na zajęciach nie widział nawet logarytmów. (Z powodzeniem wprowadziliśmy logi jako odwrotność potęgowania). Jest zaintrygowana tym filmem i nieokreślonymi formami. Omówiliśmy, jak „$1^\infty$„to tak naprawdę to samo, co”$0/0$”.

Chciałbym teraz omówić przykład „$1^\infty$". Niestety, każdy przykład, jaki mogę wymyślić i wszystko, co znajdę w internecie, wykorzystuje to$\frac{\ln(1+t)}{t}\to 1$ tak jak $t\to 0$, co jest albo „ dobrze znanym faktem ”, albo zastosowaniem reguły L'Hospitala - obie te rzeczy są dla mnie niezadowalające.

Czy istnieje nietrywialny przykład „$1^\infty$„nieokreślona forma (a więc nie tylko $1^t$ dla $t\to\infty$), które można przeanalizować używając tylko definicji logarytmu jako funkcji odwrotnej do potęgowania, bez rachunku różniczkowego i faktów, który musiałbym wyciągnąć z kapelusza?

Answer 1

Kto może zapomnieć o klasycznym przykładzie:

$\underset{n\to\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$?

Jeśli się rozszerzymy $(1+\dfrac{1}{n})^{n}$ z twierdzeniem dwumianowym i porównaj wyrażenia z odpowiednimi potęgami $1/n$ dla różnych wartości $n$, okazuje się, że ta funkcja rośnie jako $n$ rośnie bez ograniczenia, ale funkcja jest ograniczona szeregiem zbieżnym

$1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...$

Tak więc granica jest gwarantowana i dlatego można ją zdefiniować jako $e$, z której reguła $[\ln(1+x)]/x\to1$ tak jak $x\to 0$ następuje.

Answer 2

Dlaczego po prostu nie naprawić $k>0$ (na przykład $k=2$) i spójrz na $(k^{1/n})^n$?

Jest to całkiem jasne, intuicyjnie $k^{1/n}=\sqrt[n]{k}\to 1$ tak jak $n\to\infty$; z drugiej strony, wyraźnie$n\to\infty$ kiedy $n\to\infty$. Tak więc masz sprawę$1^\infty$ który faktycznie zbiega się do $k$ (a nie tylko zbiega się do $k$ale jest stała ), którą wybrałeś arbitralnie na początek.

Teraz jest to łatwe do rozszerzenia $(k^{1/n})^{n^2}=k^n$ lub $(k^{1/{n^2}})^n=k^{1/n}$, które zbiegają się do $0$ i $\infty$ (w jakiejś kolejności, o ile $k\ne 1$).

Answer 3

Szukamy $f,\,g$ z $f\to1,\,g\to\infty$, powiedz jako $x\to0$więc to $f^g$ może mieć dowolne ograniczenie $L\in[0,\,\infty]$lub żaden. Przykłady:

• $f=e^{x^2},\,g=x^{-2}\ln L$ dla $L>1$
• $f=e^{-x^2},\,g=-x^{-2}\ln L$ dla $L\in(0,\,1)$
• $f=e^{x^4},\,g=x^{-2}$ dla $L=1$
• $f=e^{-x^2},\,g=x^{-4}$ dla $L=0$
• $f=e^{-x^4},\,g=x^{-2}$ dla $L=\infty$
• $f=e^{x^2\sin(1/x)},\,g=x^{-2}$ dla $\lim_{x\to0}f^g$ być niezdefiniowanym.

Zastąpienie $(f,\,g)\mapsto(1/f,\,-g)$ przedstawia $1^{-\infty}$ działa w ten sam sposób, ale nikt nie wymienia tego oddzielnie.